Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65896 / 64905
↖ ↑ ↗
← N  1.732829°
E  0.988769°		 ← 305.29 m → N  1.732829°
E  0.991516°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.730084°
E  0.988769°		 ← 305.29 m →
93 184 m²		 N  1.730084°
E  0.991516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502750396728516 y=0.495189666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502750396728516 × 217)
    floor (0.502750396728516 × 131072)
    floor (65896.5)     		tx = 65896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495189666748047 × 217)
    floor (0.495189666748047 × 131072)
    floor (64905.5)     		ty = 64905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65896 / 64905 ti = "17/65896/64905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65896/64905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65896 ÷ 217
    65896 ÷ 131072     		x = 0.50274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64905 ÷ 217
    64905 ÷ 131072     		y = 0.495185852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50274658203125 × 2 - 1) × π
    0.0054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01725728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495185852050781 × 2 - 1) × π
    0.0096282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0302481836602554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01725728} λ = 0.01725728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0302481836602554))-π/2
    2×atan(1.0307103076696)-π/2
    2×0.800519949450415-π/2
    1.60103989890083-1.57079632675     		φ = 0.03024357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01725728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03024357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.732829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65896 KachelY 64905 0.01725728 0.03024357 0.988769 1.732829
    Oben rechts KachelX + 1 65897 KachelY 64905 0.01730522 0.03024357 0.991516 1.732829
    Unten links KachelX 65896 KachelY + 1 64906 0.01725728 0.03019566 0.988769 1.730084
    Unten rechts KachelX + 1 65897 KachelY + 1 64906 0.01730522 0.03019566 0.991516 1.730084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03024357-0.03019566) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03024357-0.03019566) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01725728-0.01730522) × cos(0.03024357) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999542698095251 × 6371000     		do = 305.286068227337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01725728-0.01730522) × cos(0.03019566) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999544145696651 × 6371000     		du = 305.286510362066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03024357)-sin(0.03019566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999542698095251-0.999544145696651)×R²
    abs(0.01730522-0.01725728)×1.44760140008415e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.44760140008415e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.44760140008415e-06×40589641000000     		ar = 93183.941469043m²