Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65896 / 64904
↖ ↑ ↗
← N  1.735575°
E  0.988769°		 ← 305.29 m → N  1.735575°
E  0.991516°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.732829°
E  0.988769°		 ← 305.29 m →
93 203 m²		 N  1.732829°
E  0.991516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502750396728516 y=0.495182037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502750396728516 × 217)
    floor (0.502750396728516 × 131072)
    floor (65896.5)     		tx = 65896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495182037353516 × 217)
    floor (0.495182037353516 × 131072)
    floor (64904.5)     		ty = 64904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65896 / 64904 ti = "17/65896/64904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65896/64904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65896 ÷ 217
    65896 ÷ 131072     		x = 0.50274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64904 ÷ 217
    64904 ÷ 131072     		y = 0.49517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50274658203125 × 2 - 1) × π
    0.0054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01725728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    0.0096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0302961205598755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01725728} λ = 0.01725728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0302961205598755))-π/2
    2×atan(1.03075971791043)-π/2
    2×0.800543906922032-π/2
    1.60108781384406-1.57079632675     		φ = 0.03029149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01725728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03029149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.735575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65896 KachelY 64904 0.01725728 0.03029149 0.988769 1.735575
    Oben rechts KachelX + 1 65897 KachelY 64904 0.01730522 0.03029149 0.991516 1.735575
    Unten links KachelX 65896 KachelY + 1 64905 0.01725728 0.03024357 0.988769 1.732829
    Unten rechts KachelX + 1 65897 KachelY + 1 64905 0.01730522 0.03024357 0.991516 1.732829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03029149-0.03024357) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03029149-0.03024357) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01725728-0.01730522) × cos(0.03029149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999541247896664 × 6371000     		do = 305.285625299361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01725728-0.01730522) × cos(0.03024357) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999542698095251 × 6371000     		du = 305.286068227337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03029149)-sin(0.03024357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999541247896664-0.999542698095251)×R²
    abs(0.01730522-0.01725728)×1.45019858699413e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.45019858699413e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.45019858699413e-06×40589641000000     		ar = 93203.2561544652m²