Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65892 / 66172
↖ ↑ ↗
← S  1.746556°
E  0.977783°		 ← 305.22 m → S  1.746556°
E  0.980530°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.749301°
E  0.977783°		 ← 305.22 m →
93 164 m²		 S  1.749301°
E  0.980530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502719879150391 y=0.504856109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502719879150391 × 217)
    floor (0.502719879150391 × 131072)
    floor (65892.5)     		tx = 65892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504856109619141 × 217)
    floor (0.504856109619141 × 131072)
    floor (66172.5)     		ty = 66172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65892 / 66172 ti = "17/65892/66172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65892/66172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65892 ÷ 217
    65892 ÷ 131072     		x = 0.502716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66172 ÷ 217
    66172 ÷ 131072     		y = 0.504852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502716064453125 × 2 - 1) × π
    0.00543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01706554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.00970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0304878681583557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01706554} λ = 0.01706554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0304878681583557))-π/2
    2×atan(0.969972199544954)-π/2
    2×0.770156590334771-π/2
    1.54031318066954-1.57079632675     		φ = -0.03048315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01706554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03048315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.746556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65892 KachelY 66172 0.01706554 -0.03048315 0.977783 -1.746556
    Oben rechts KachelX + 1 65893 KachelY 66172 0.01711347 -0.03048315 0.980530 -1.746556
    Unten links KachelX 65892 KachelY + 1 66173 0.01706554 -0.03053106 0.977783 -1.749301
    Unten rechts KachelX + 1 65893 KachelY + 1 66173 0.01711347 -0.03053106 0.980530 -1.749301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03048315--0.03053106) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03048315--0.03053106) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01706554-0.01711347) × cos(-0.03048315) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999535424759188 × 6371000     		do = 305.220166361366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01706554-0.01711347) × cos(-0.03053106) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999533963390491 × 6371000     		du = 305.219720114854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03048315)-sin(-0.03053106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999535424759188-0.999533963390491)×R²
    abs(0.01711347-0.01706554)×1.46136869716429e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.46136869716429e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.46136869716429e-06×40589641000000     		ar = 93163.6903563216m²