Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65892 / 66170
↖ ↑ ↗
← S  1.741065°
E  0.977783°		 ← 305.22 m → S  1.741065°
E  0.980530°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.743810°
E  0.977783°		 ← 305.22 m →
93 164 m²		 S  1.743810°
E  0.980530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502719879150391 y=0.504840850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502719879150391 × 217)
    floor (0.502719879150391 × 131072)
    floor (65892.5)     		tx = 65892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504840850830078 × 217)
    floor (0.504840850830078 × 131072)
    floor (66170.5)     		ty = 66170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65892 / 66170 ti = "17/65892/66170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65892/66170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65892 ÷ 217
    65892 ÷ 131072     		x = 0.502716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66170 ÷ 217
    66170 ÷ 131072     		y = 0.504837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502716064453125 × 2 - 1) × π
    0.00543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01706554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504837036132812 × 2 - 1) × π
    -0.009674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0303919943591156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01706554} λ = 0.01706554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0303919943591156))-π/2
    2×atan(0.970065198922912)-π/2
    2×0.770204505034032-π/2
    1.54040901006806-1.57079632675     		φ = -0.03038732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01706554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03038732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.741065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65892 KachelY 66170 0.01706554 -0.03038732 0.977783 -1.741065
    Oben rechts KachelX + 1 65893 KachelY 66170 0.01711347 -0.03038732 0.980530 -1.741065
    Unten links KachelX 65892 KachelY + 1 66171 0.01706554 -0.03043523 0.977783 -1.743810
    Unten rechts KachelX + 1 65893 KachelY + 1 66171 0.01711347 -0.03043523 0.980530 -1.743810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03038732--0.03043523) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03038732--0.03043523) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01706554-0.01711347) × cos(-0.03038732) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999538340917501 × 6371000     		do = 305.221056845388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01706554-0.01711347) × cos(-0.03043523) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999536884137889 × 6371000     		du = 305.220612000209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03038732)-sin(-0.03043523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999538340917501-0.999536884137889)×R²
    abs(0.01711347-0.01706554)×1.45677961160828e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.45677961160828e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.45677961160828e-06×40589641000000     		ar = 93163.96237674m²