Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65888 / 32033
↖ ↑ ↗
← N 67.304916°
E  0.966797°		 ← 117.84 m → N 67.304916°
E  0.969544°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
N 67.303856°
E  0.966797°		 ← 117.85 m →
13 890 m²		 N 67.303856°
E  0.969544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502689361572266 y=0.244396209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502689361572266 × 217)
    floor (0.502689361572266 × 131072)
    floor (65888.5)     		tx = 65888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244396209716797 × 217)
    floor (0.244396209716797 × 131072)
    floor (32033.5)     		ty = 32033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65888 / 32033 ti = "17/65888/32033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65888/32033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65888 ÷ 217
    65888 ÷ 131072     		x = 0.502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32033 ÷ 217
    32033 ÷ 131072     		y = 0.244392395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244392395019531 × 2 - 1) × π
    0.511215209960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.60602994797074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01687379} λ = 0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60602994797074))-π/2
    2×atan(4.9829891802817)-π/2
    2×1.37274435742212-π/2
    2.74548871484423-1.57079632675     		φ = 1.17469239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17469239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.304916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65888 KachelY 32033 0.01687379 1.17469239 0.966797 67.304916
    Oben rechts KachelX + 1 65889 KachelY 32033 0.01692173 1.17469239 0.969544 67.304916
    Unten links KachelX 65888 KachelY + 1 32034 0.01687379 1.17467389 0.966797 67.303856
    Unten rechts KachelX + 1 65889 KachelY + 1 32034 0.01692173 1.17467389 0.969544 67.303856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17469239-1.17467389) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dl = 117.863499999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17469239-1.17467389) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dr = 117.863499999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01687379-0.01692173) × cos(1.17469239) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.385826883991937 × 6371000     		do = 117.841461555131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01687379-0.01692173) × cos(1.17467389) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.385843951493076 × 6371000     		du = 117.846674409296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17469239)-sin(1.17467389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385826883991937-0.385843951493076)×R²
    abs(0.01692173-0.01687379)×1.7067501139445e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.7067501139445e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.7067501139445e-05×40589641000000     		ar = 13889.5143070223m²