Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65885 / 76397
↖ ↑ ↗
← S 28.567638°
E  0.958557°		 ← 268.19 m → S 28.567638°
E  0.961303°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.570050°
E  0.958557°		 ← 268.18 m →
71 932 m²		 S 28.570050°
E  0.961303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502666473388672 y=0.582866668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502666473388672 × 217)
    floor (0.502666473388672 × 131072)
    floor (65885.5)     		tx = 65885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582866668701172 × 217)
    floor (0.582866668701172 × 131072)
    floor (76397.5)     		ty = 76397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65885 / 76397 ti = "17/65885/76397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65885/76397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65885 ÷ 217
    65885 ÷ 131072     		x = 0.502662658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76397 ÷ 217
    76397 ÷ 131072     		y = 0.582862854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502662658691406 × 2 - 1) × π
    0.0053253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01672998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582862854003906 × 2 - 1) × π
    -0.165725708007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.52064266677343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01672998} λ = 0.01672998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52064266677343))-π/2
    2×atan(0.594138592116207)-π/2
    2×0.536098494601363-π/2
    1.07219698920273-1.57079632675     		φ = -0.49859934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01672998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.958557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49859934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.567638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65885 KachelY 76397 0.01672998 -0.49859934 0.958557 -28.567638
    Oben rechts KachelX + 1 65886 KachelY 76397 0.01677791 -0.49859934 0.961303 -28.567638
    Unten links KachelX 65885 KachelY + 1 76398 0.01672998 -0.49864144 0.958557 -28.570050
    Unten rechts KachelX + 1 65886 KachelY + 1 76398 0.01677791 -0.49864144 0.961303 -28.570050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49859934--0.49864144) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49859934--0.49864144) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01672998-0.01677791) × cos(-0.49859934) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.878253213003859 × 6371000     		do = 268.18518397689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01672998-0.01677791) × cos(-0.49864144) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87823308017926 × 6371000     		du = 268.1790361767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49859934)-sin(-0.49864144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878253213003859-0.87823308017926)×R²
    abs(0.01677791-0.01672998)×2.01328245991172e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.01328245991172e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.01328245991172e-05×40589641000000     		ar = 71931.5642115033m²