Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65883 / 66119
↖ ↑ ↗
← S  1.601049°
E  0.953064°		 ← 305.31 m → S  1.601049°
E  0.955810°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.603794°
E  0.953064°		 ← 305.31 m →
93 190 m²		 S  1.603794°
E  0.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502651214599609 y=0.504451751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502651214599609 × 217)
    floor (0.502651214599609 × 131072)
    floor (65883.5)     		tx = 65883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504451751708984 × 217)
    floor (0.504451751708984 × 131072)
    floor (66119.5)     		ty = 66119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65883 / 66119 ti = "17/65883/66119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65883/66119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65883 ÷ 217
    65883 ÷ 131072     		x = 0.502647399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66119 ÷ 217
    66119 ÷ 131072     		y = 0.504447937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502647399902344 × 2 - 1) × π
    0.0052947998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01663410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504447937011719 × 2 - 1) × π
    -0.0088958740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0279472124784927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01663410} λ = 0.01663410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0279472124784927))-π/2
    2×atan(0.972439698127888)-π/2
    2×0.771426375809573-π/2
    1.54285275161915-1.57079632675     		φ = -0.02794358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01663410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.953064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02794358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.601049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65883 KachelY 66119 0.01663410 -0.02794358 0.953064 -1.601049
    Oben rechts KachelX + 1 65884 KachelY 66119 0.01668204 -0.02794358 0.955810 -1.601049
    Unten links KachelX 65883 KachelY + 1 66120 0.01663410 -0.02799149 0.953064 -1.603794
    Unten rechts KachelX + 1 65884 KachelY + 1 66120 0.01668204 -0.02799149 0.955810 -1.603794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02794358--0.02799149) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02794358--0.02799149) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01663410-0.01668204) × cos(-0.02794358) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999609603572598 × 6371000     		do = 305.306502882266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01663410-0.01668204) × cos(-0.02799149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999608263822668 × 6371000     		du = 305.306093688152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02794358)-sin(-0.02799149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999609603572598-0.999608263822668)×R²
    abs(0.01668204-0.01663410)×1.33974993077324e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.33974993077324e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.33974993077324e-06×40589641000000     		ar = 93190.0489054613m²