Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6588 / 6082
↖ ↑ ↗
← S 65.403445°
E109.511719°		 ← 2 033.89 m → S 65.403445°
E109.555664°		 →
↑
2 033.18 m
↓
↑
2 033.18 m
↓
S 65.421729°
E109.511719°		 ← 2 032.47 m →
4 133 810 m²		 S 65.421729°
E109.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80426025390625 y=0.74249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80426025390625 × 213)
    floor (0.80426025390625 × 8192)
    floor (6588.5)     		tx = 6588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74249267578125 × 213)
    floor (0.74249267578125 × 8192)
    floor (6082.5)     		ty = 6082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6588 / 6082 ti = "13/6588/6082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6588/6082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6588 ÷ 213
    6588 ÷ 8192     		x = 0.80419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6082 ÷ 213
    6082 ÷ 8192     		y = 0.742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80419921875 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91134006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91134006} λ = 1.91134006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5232429223269))-π/2
    2×atan(0.218003770095419)-π/2
    2×0.214645436555361-π/2
    0.429290873110721-1.57079632675     		φ = -1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91134006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.511719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6588 KachelY 6082 1.91134006 -1.14150545 109.511719 -65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 6589 KachelY 6082 1.91210705 -1.14150545 109.555664 -65.403445
    Unten links KachelX 6588 KachelY + 1 6083 1.91134006 -1.14182458 109.511719 -65.421729
    Unten rechts KachelX + 1 6589 KachelY + 1 6083 1.91210705 -1.14182458 109.555664 -65.421729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14150545--1.14182458) × R
    0.000319130000000056 × 6371000     		dl = 2033.17723000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14150545--1.14182458) × R
    0.000319130000000056 × 6371000     		dr = 2033.17723000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91134006-1.91210705) × cos(-1.14150545) × R
    0.000766990000000023 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 2033.88618630808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91134006-1.91210705) × cos(-1.14182458) × R
    0.000766990000000023 × 0.415935935268779 × 6371000     		du = 2032.46815676082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14150545)-sin(-1.14182458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.415935935268779)×R²
    abs(1.91210705-1.91134006)×0.000290193695784535×R²
    0.000766990000000023×0.000290193695784535×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290193695784535×40589641000000     		ar = 4133809.56480304m²