Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65876 / 76396
↖ ↑ ↗
← S 28.565226°
E  0.933838°		 ← 268.19 m → S 28.565226°
E  0.936584°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.567638°
E  0.933838°		 ← 268.19 m →
71 933 m²		 S 28.567638°
E  0.936584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502597808837891 y=0.582859039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502597808837891 × 217)
    floor (0.502597808837891 × 131072)
    floor (65876.5)     		tx = 65876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582859039306641 × 217)
    floor (0.582859039306641 × 131072)
    floor (76396.5)     		ty = 76396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65876 / 76396 ti = "17/65876/76396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65876/76396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65876 ÷ 217
    65876 ÷ 131072     		x = 0.502593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76396 ÷ 217
    76396 ÷ 131072     		y = 0.582855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502593994140625 × 2 - 1) × π
    0.00518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01629855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.16571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.52059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01629855} λ = 0.01629855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52059472987381))-π/2
    2×atan(0.594167073960918)-π/2
    2×0.536119545210714-π/2
    1.07223909042143-1.57079632675     		φ = -0.49855724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01629855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49855724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65876 KachelY 76396 0.01629855 -0.49855724 0.933838 -28.565226
    Oben rechts KachelX + 1 65877 KachelY 76396 0.01634648 -0.49855724 0.936584 -28.565226
    Unten links KachelX 65876 KachelY + 1 76397 0.01629855 -0.49859934 0.933838 -28.567638
    Unten rechts KachelX + 1 65877 KachelY + 1 76397 0.01634648 -0.49859934 0.936584 -28.567638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49855724--0.49859934) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49855724--0.49859934) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01629855-0.01634648) × cos(-0.49855724) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.878273344271834 × 6371000     		do = 268.191331301745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01629855-0.01634648) × cos(-0.49859934) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.878253213003859 × 6371000     		du = 268.18518397689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49855724)-sin(-0.49859934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878273344271834-0.878253213003859)×R²
    abs(0.01634648-0.01629855)×2.01312679742882e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.01312679742882e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.01312679742882e-05×40589641000000     		ar = 71933.2131051617m²