Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65865 / 76385
↖ ↑ ↗
← S 28.538687°
E  0.903625°		 ← 268.31 m → S 28.538687°
E  0.906372°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.541100°
E  0.903625°		 ← 268.31 m →
71 983 m²		 S 28.541100°
E  0.906372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502513885498047 y=0.582775115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502513885498047 × 217)
    floor (0.502513885498047 × 131072)
    floor (65865.5)     		tx = 65865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582775115966797 × 217)
    floor (0.582775115966797 × 131072)
    floor (76385.5)     		ty = 76385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65865 / 76385 ti = "17/65865/76385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65865/76385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65865 ÷ 217
    65865 ÷ 131072     		x = 0.502510070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76385 ÷ 217
    76385 ÷ 131072     		y = 0.582771301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502510070800781 × 2 - 1) × π
    0.0050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01577124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582771301269531 × 2 - 1) × π
    -0.165542602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.520067423977989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01577124} λ = 0.01577124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520067423977989))-π/2
    2×atan(0.594480464381167)-π/2
    2×0.536351133753859-π/2
    1.07270226750772-1.57079632675     		φ = -0.49809406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01577124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.903625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49809406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.538687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65865 KachelY 76385 0.01577124 -0.49809406 0.903625 -28.538687
    Oben rechts KachelX + 1 65866 KachelY 76385 0.01581918 -0.49809406 0.906372 -28.538687
    Unten links KachelX 65865 KachelY + 1 76386 0.01577124 -0.49813617 0.903625 -28.541100
    Unten rechts KachelX + 1 65866 KachelY + 1 76386 0.01581918 -0.49813617 0.906372 -28.541100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49809406--0.49813617) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49809406--0.49813617) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01577124-0.01581918) × cos(-0.49809406) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.87849472369228 × 6371000     		do = 268.314901069809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01577124-0.01581918) × cos(-0.49813617) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.878474604774601 × 6371000     		du = 268.308756234489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49809406)-sin(-0.49813617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87849472369228-0.878474604774601)×R²
    abs(0.01581918-0.01577124)×2.01189176790573e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.01189176790573e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.01189176790573e-05×40589641000000     		ar = 71983.4513576678m²