Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65864 / 75460
↖ ↑ ↗
← S 26.283565°
E  0.900879°		 ← 273.85 m → S 26.283565°
E  0.903625°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 26.286028°
E  0.900879°		 ← 273.84 m →
74 986 m²		 S 26.286028°
E  0.903625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502506256103516 y=0.575717926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502506256103516 × 217)
    floor (0.502506256103516 × 131072)
    floor (65864.5)     		tx = 65864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575717926025391 × 217)
    floor (0.575717926025391 × 131072)
    floor (75460.5)     		ty = 75460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65864 / 75460 ti = "17/65864/75460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65864/75460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65864 ÷ 217
    65864 ÷ 131072     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75460 ÷ 217
    75460 ÷ 131072     		y = 0.575714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.15142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.475725791829437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475725791829437))-π/2
    2×atan(0.621433861128939)-π/2
    2×0.556030789786347-π/2
    1.11206157957269-1.57079632675     		φ = -0.45873475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45873475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.283565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65864 KachelY 75460 0.01572330 -0.45873475 0.900879 -26.283565
    Oben rechts KachelX + 1 65865 KachelY 75460 0.01577124 -0.45873475 0.903625 -26.283565
    Unten links KachelX 65864 KachelY + 1 75461 0.01572330 -0.45877773 0.900879 -26.286028
    Unten rechts KachelX + 1 65865 KachelY + 1 75461 0.01577124 -0.45877773 0.903625 -26.286028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45873475--0.45877773) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45873475--0.45877773) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.45873475) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.896613485491882 × 6371000     		do = 273.848837300336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.45877773) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.896594452517096 × 6371000     		du = 273.843024139928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45873475)-sin(-0.45877773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896613485491882-0.896594452517096)×R²
    abs(0.01577124-0.01572330)×1.90329747863371e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.90329747863371e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.90329747863371e-05×40589641000000     		ar = 74986.0208215689m²