Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65864 / 66153
↖ ↑ ↗
← S  1.694394°
E  0.900879°		 ← 305.29 m → S  1.694394°
E  0.903625°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.697139°
E  0.900879°		 ← 305.29 m →
93 186 m²		 S  1.697139°
E  0.903625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502506256103516 y=0.504711151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502506256103516 × 217)
    floor (0.502506256103516 × 131072)
    floor (65864.5)     		tx = 65864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504711151123047 × 217)
    floor (0.504711151123047 × 131072)
    floor (66153.5)     		ty = 66153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65864 / 66153 ti = "17/65864/66153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65864/66153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65864 ÷ 217
    65864 ÷ 131072     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66153 ÷ 217
    66153 ÷ 131072     		y = 0.504707336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504707336425781 × 2 - 1) × π
    -0.0094146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0295770670655746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0295770670655746))-π/2
    2×atan(0.970856053730845)-π/2
    2×0.770611785568551-π/2
    1.5412235711371-1.57079632675     		φ = -0.02957276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02957276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.694394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65864 KachelY 66153 0.01572330 -0.02957276 0.900879 -1.694394
    Oben rechts KachelX + 1 65865 KachelY 66153 0.01577124 -0.02957276 0.903625 -1.694394
    Unten links KachelX 65864 KachelY + 1 66154 0.01572330 -0.02962067 0.900879 -1.697139
    Unten rechts KachelX + 1 65865 KachelY + 1 66154 0.01577124 -0.02962067 0.903625 -1.697139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02957276--0.02962067) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02957276--0.02962067) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.02957276) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999562757800164 × 6371000     		do = 305.292194977554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.02962067) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999561340028556 × 6371000     		du = 305.291761953612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02957276)-sin(-0.02962067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999562757800164-0.999561340028556)×R²
    abs(0.01577124-0.01572330)×1.41777160778123e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.41777160778123e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.41777160778123e-06×40589641000000     		ar = 93185.6780008945m²