Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65858 / 76350
↖ ↑ ↗
← S 28.454204°
E  0.884399°		 ← 268.53 m → S 28.454204°
E  0.887146°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 28.456618°
E  0.884399°		 ← 268.52 m →
72 092 m²		 S 28.456618°
E  0.887146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502460479736328 y=0.582508087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502460479736328 × 217)
    floor (0.502460479736328 × 131072)
    floor (65858.5)     		tx = 65858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582508087158203 × 217)
    floor (0.582508087158203 × 131072)
    floor (76350.5)     		ty = 76350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65858 / 76350 ti = "17/65858/76350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65858/76350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65858 ÷ 217
    65858 ÷ 131072     		x = 0.502456665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76350 ÷ 217
    76350 ÷ 131072     		y = 0.582504272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502456665039062 × 2 - 1) × π
    0.004913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01543568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582504272460938 × 2 - 1) × π
    -0.165008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.518389632491287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01543568} λ = 0.01543568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518389632491287))-π/2
    2×atan(0.595478715838042)-π/2
    2×0.537088394414326-π/2
    1.07417678882865-1.57079632675     		φ = -0.49661954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01543568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.884399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49661954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.454204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65858 KachelY 76350 0.01543568 -0.49661954 0.884399 -28.454204
    Oben rechts KachelX + 1 65859 KachelY 76350 0.01548362 -0.49661954 0.887146 -28.454204
    Unten links KachelX 65858 KachelY + 1 76351 0.01543568 -0.49666168 0.884399 -28.456618
    Unten rechts KachelX + 1 65859 KachelY + 1 76351 0.01548362 -0.49666168 0.887146 -28.456618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49661954--0.49666168) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49661954--0.49666168) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01543568-0.01548362) × cos(-0.49661954) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.879198223372991 × 6371000     		do = 268.52976798038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01543568-0.01548362) × cos(-0.49666168) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.879178144729269 × 6371000     		du = 268.523635445763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49661954)-sin(-0.49666168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879198223372991-0.879178144729269)×R²
    abs(0.01548362-0.01543568)×2.00786437213329e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.00786437213329e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.00786437213329e-05×40589641000000     		ar = 72092.4216147669m²