Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65856 / 75456
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
E  0.878906°		 ← 273.81 m → S 26.273714°
E  0.881653°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 26.276177°
E  0.878906°		 ← 273.81 m →
74 977 m²		 S 26.276177°
E  0.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502445220947266 y=0.575687408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502445220947266 × 217)
    floor (0.502445220947266 × 131072)
    floor (65856.5)     		tx = 65856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575687408447266 × 217)
    floor (0.575687408447266 × 131072)
    floor (75456.5)     		ty = 75456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65856 / 75456 ti = "17/65856/75456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65856/75456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65856 ÷ 217
    65856 ÷ 131072     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75456 ÷ 217
    75456 ÷ 131072     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65856 KachelY 75456 0.01533981 -0.45856282 0.878906 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 65857 KachelY 75456 0.01538774 -0.45856282 0.881653 -26.273714
    Unten links KachelX 65856 KachelY + 1 75457 0.01533981 -0.45860580 0.878906 -26.276177
    Unten rechts KachelX + 1 65857 KachelY + 1 75457 0.01538774 -0.45860580 0.881653 -26.276177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.45860580) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.45860580) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01538774) × cos(-0.45856282) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 273.814958140354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01538774) × cos(-0.45860580) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.896670578905305 × 6371000     		du = 273.809148215798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.45860580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896670578905305)×R²
    abs(0.01538774-0.01533981)×1.90263490039699e-05×R²
    4.79299999999998e-05×1.90263490039699e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.90263490039699e-05×40589641000000     		ar = 74976.7442840076m²