Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65855 / 64831
↖ ↑ ↗
← N  1.935972°
E  0.876160°		 ← 305.25 m → N  1.935972°
E  0.878906°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.933227°
E  0.876160°		 ← 305.25 m →
93 173 m²		 N  1.933227°
E  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502437591552734 y=0.494625091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502437591552734 × 217)
    floor (0.502437591552734 × 131072)
    floor (65855.5)     		tx = 65855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494625091552734 × 217)
    floor (0.494625091552734 × 131072)
    floor (64831.5)     		ty = 64831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65855 / 64831 ti = "17/65855/64831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65855/64831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65855 ÷ 217
    65855 ÷ 131072     		x = 0.502433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64831 ÷ 217
    64831 ÷ 131072     		y = 0.494621276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502433776855469 × 2 - 1) × π
    0.0048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01529187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494621276855469 × 2 - 1) × π
    0.0107574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0337955142321396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01529187} λ = 0.01529187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0337955142321396))-π/2
    2×atan(1.0343730705292)-π/2
    2×0.802292704840004-π/2
    1.60458540968001-1.57079632675     		φ = 0.03378908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01529187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.876160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03378908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.935972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65855 KachelY 64831 0.01529187 0.03378908 0.876160 1.935972
    Oben rechts KachelX + 1 65856 KachelY 64831 0.01533981 0.03378908 0.878906 1.935972
    Unten links KachelX 65855 KachelY + 1 64832 0.01529187 0.03374117 0.876160 1.933227
    Unten rechts KachelX + 1 65856 KachelY + 1 64832 0.01533981 0.03374117 0.878906 1.933227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03378908-0.03374117) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03378908-0.03374117) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01529187-0.01533981) × cos(0.03378908) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999429203346114 × 6371000     		do = 305.251404009596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01529187-0.01533981) × cos(0.03374117) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999430820725887 × 6371000     		du = 305.25189799901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03378908)-sin(0.03374117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999429203346114-0.999430820725887)×R²
    abs(0.01533981-0.01529187)×1.61737977300014e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.61737977300014e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.61737977300014e-06×40589641000000     		ar = 93173.368663965m²