Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65841 / 75495
↖ ↑ ↗
← S 26.369725°
E  0.837707°		 ← 273.65 m → S 26.369725°
E  0.840454°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.372186°
E  0.837707°		 ← 273.64 m →
74 878 m²		 S 26.372186°
E  0.840454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502330780029297 y=0.575984954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502330780029297 × 217)
    floor (0.502330780029297 × 131072)
    floor (65841.5)     		tx = 65841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575984954833984 × 217)
    floor (0.575984954833984 × 131072)
    floor (75495.5)     		ty = 75495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65841 / 75495 ti = "17/65841/75495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65841/75495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65841 ÷ 217
    65841 ÷ 131072     		x = 0.502326965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75495 ÷ 217
    75495 ÷ 131072     		y = 0.575981140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502326965332031 × 2 - 1) × π
    0.0046539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01462075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575981140136719 × 2 - 1) × π
    -0.151962280273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.477403583316139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01462075} λ = 0.01462075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477403583316139))-π/2
    2×atan(0.620392098861499)-π/2
    2×0.555278904173579-π/2
    1.11055780834716-1.57079632675     		φ = -0.46023852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01462075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.837707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46023852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.369725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65841 KachelY 75495 0.01462075 -0.46023852 0.837707 -26.369725
    Oben rechts KachelX + 1 65842 KachelY 75495 0.01466869 -0.46023852 0.840454 -26.369725
    Unten links KachelX 65841 KachelY + 1 75496 0.01462075 -0.46028147 0.837707 -26.372186
    Unten rechts KachelX + 1 65842 KachelY + 1 75496 0.01466869 -0.46028147 0.840454 -26.372186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46023852--0.46028147) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46023852--0.46028147) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01462075-0.01466869) × cos(-0.46023852) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895946581535041 × 6371000     		do = 273.645147665809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01462075-0.01466869) × cos(-0.46028147) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895927503958467 × 6371000     		du = 273.639320882866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46023852)-sin(-0.46028147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895946581535041-0.895927503958467)×R²
    abs(0.01466869-0.01462075)×1.90775765739337e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.90775765739337e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.90775765739337e-05×40589641000000     		ar = 74877.9422840046m²