Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65840 / 75465
↖ ↑ ↗
← S 26.295877°
E  0.834961°		 ← 273.76 m → S 26.295877°
E  0.837707°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 26.298340°
E  0.834961°		 ← 273.76 m →
74 962 m²		 S 26.298340°
E  0.837707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502323150634766 y=0.575756072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502323150634766 × 217)
    floor (0.502323150634766 × 131072)
    floor (65840.5)     		tx = 65840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575756072998047 × 217)
    floor (0.575756072998047 × 131072)
    floor (75465.5)     		ty = 75465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65840 / 75465 ti = "17/65840/75465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65840/75465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65840 ÷ 217
    65840 ÷ 131072     		x = 0.5023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75465 ÷ 217
    75465 ÷ 131072     		y = 0.575752258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5023193359375 × 2 - 1) × π
    0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575752258300781 × 2 - 1) × π
    -0.151504516601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.475965476327538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01457282} λ = 0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475965476327538))-π/2
    2×atan(0.621284930914677)-π/2
    2×0.555923343312449-π/2
    1.1118466866249-1.57079632675     		φ = -0.45894964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45894964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.295877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65840 KachelY 75465 0.01457282 -0.45894964 0.834961 -26.295877
    Oben rechts KachelX + 1 65841 KachelY 75465 0.01462075 -0.45894964 0.837707 -26.295877
    Unten links KachelX 65840 KachelY + 1 75466 0.01457282 -0.45899262 0.834961 -26.298340
    Unten rechts KachelX + 1 65841 KachelY + 1 75466 0.01462075 -0.45899262 0.837707 -26.298340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45894964--0.45899262) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45894964--0.45899262) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01457282-0.01462075) × cos(-0.45894964) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.896518308485755 × 6371000     		do = 273.762650611376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01457282-0.01462075) × cos(-0.45899262) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		du = 273.756836134986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45894964)-sin(-0.45899262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896518308485755-0.896499267230399)×R²
    abs(0.01462075-0.01457282)×1.90412553561226e-05×R²
    4.79299999999998e-05×1.90412553561226e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.90412553561226e-05×40589641000000     		ar = 74962.4205213818m²