Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65838 / 75497
↖ ↑ ↗
← S 26.374646°
E  0.829468°		 ← 273.63 m → S 26.374646°
E  0.832214°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.377107°
E  0.829468°		 ← 273.63 m →
74 875 m²		 S 26.377107°
E  0.832214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502307891845703 y=0.576000213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502307891845703 × 217)
    floor (0.502307891845703 × 131072)
    floor (65838.5)     		tx = 65838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576000213623047 × 217)
    floor (0.576000213623047 × 131072)
    floor (75497.5)     		ty = 75497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65838 / 75497 ti = "17/65838/75497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65838/75497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65838 ÷ 217
    65838 ÷ 131072     		x = 0.502304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75497 ÷ 217
    75497 ÷ 131072     		y = 0.575996398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502304077148438 × 2 - 1) × π
    0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575996398925781 × 2 - 1) × π
    -0.151992797851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.477499457115379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01447694} λ = 0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477499457115379))-π/2
    2×atan(0.620332622365127)-π/2
    2×0.555235956186699-π/2
    1.1104719123734-1.57079632675     		φ = -0.46032441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46032441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.374646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65838 KachelY 75497 0.01447694 -0.46032441 0.829468 -26.374646
    Oben rechts KachelX + 1 65839 KachelY 75497 0.01452488 -0.46032441 0.832214 -26.374646
    Unten links KachelX 65838 KachelY + 1 75498 0.01447694 -0.46036736 0.829468 -26.377107
    Unten rechts KachelX + 1 65839 KachelY + 1 75498 0.01452488 -0.46036736 0.832214 -26.377107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46032441--0.46036736) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46032441--0.46036736) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01447694-0.01452488) × cos(-0.46032441) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895908429171561 × 6371000     		do = 273.63349495196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01447694-0.01452488) × cos(-0.46036736) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		du = 273.62766715958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46032441)-sin(-0.46036736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895908429171561-0.895889348289967)×R²
    abs(0.01452488-0.01447694)×1.9080881593414e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.9080881593414e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.9080881593414e-05×40589641000000     		ar = 74874.7535618231m²