Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65835 / 75505
↖ ↑ ↗
← S 26.394330°
E  0.821228°		 ← 273.59 m → S 26.394330°
E  0.823975°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
S 26.396790°
E  0.821228°		 ← 273.58 m →
74 845 m²		 S 26.396790°
E  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502285003662109 y=0.576061248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502285003662109 × 217)
    floor (0.502285003662109 × 131072)
    floor (65835.5)     		tx = 65835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576061248779297 × 217)
    floor (0.576061248779297 × 131072)
    floor (75505.5)     		ty = 75505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65835 / 75505 ti = "17/65835/75505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65835/75505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65835 ÷ 217
    65835 ÷ 131072     		x = 0.502281188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75505 ÷ 217
    75505 ÷ 131072     		y = 0.576057434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502281188964844 × 2 - 1) × π
    0.0045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01433313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576057434082031 × 2 - 1) × π
    -0.152114868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.47788295231234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01433313} λ = 0.01433313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47788295231234))-π/2
    2×atan(0.620094773393816)-π/2
    2×0.555064182533094-π/2
    1.11012836506619-1.57079632675     		φ = -0.46066796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01433313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.821228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46066796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.394330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65835 KachelY 75505 0.01433313 -0.46066796 0.821228 -26.394330
    Oben rechts KachelX + 1 65836 KachelY 75505 0.01438107 -0.46066796 0.823975 -26.394330
    Unten links KachelX 65835 KachelY + 1 75506 0.01433313 -0.46071090 0.821228 -26.396790
    Unten rechts KachelX + 1 65836 KachelY + 1 75506 0.01438107 -0.46071090 0.823975 -26.396790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46066796--0.46071090) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46066796--0.46071090) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01433313-0.01438107) × cos(-0.46066796) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895755758073932 × 6371000     		do = 273.58686526899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01433313-0.01438107) × cos(-0.46071090) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895736668419904 × 6371000     		du = 273.581034797283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46066796)-sin(-0.46071090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895755758073932-0.895736668419904)×R²
    abs(0.01438107-0.01433313)×1.90896540284147e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.90896540284147e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.90896540284147e-05×40589641000000     		ar = 74844.5636741362m²