Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6583 / 12797
↖ ↑ ↗
← S 70.590721°
W 35.354004°		 ← 811.91 m → S 70.590721°
W 35.332031°		 →
↑
811.73 m
↓
↑
811.73 m
↓
S 70.598021°
W 35.354004°		 ← 811.62 m →
658 935 m²		 S 70.598021°
W 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401824951171875 y=0.781097412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401824951171875 × 214)
    floor (0.401824951171875 × 16384)
    floor (6583.5)     		tx = 6583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781097412109375 × 214)
    floor (0.781097412109375 × 16384)
    floor (12797.5)     		ty = 12797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6583 / 12797 ti = "14/6583/12797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6583/12797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6583 ÷ 214
    6583 ÷ 16384     		x = 0.40179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12797 ÷ 214
    12797 ÷ 16384     		y = 0.78106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61704377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.5621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76599538200287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61704377} λ = -0.61704377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76599538200287))-π/2
    2×atan(0.171016475015093)-π/2
    2×0.169377914946365-π/2
    0.338755829892731-1.57079632675     		φ = -1.23204050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61704377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23204050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.590721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6583 KachelY 12797 -0.61704377 -1.23204050 -35.354004 -70.590721
    Oben rechts KachelX + 1 6584 KachelY 12797 -0.61666028 -1.23204050 -35.332031 -70.590721
    Unten links KachelX 6583 KachelY + 1 12798 -0.61704377 -1.23216791 -35.354004 -70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 6584 KachelY + 1 12798 -0.61666028 -1.23216791 -35.332031 -70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23204050--1.23216791) × R
    0.000127409999999939 × 6371000     		dl = 811.729109999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23204050--1.23216791) × R
    0.000127409999999939 × 6371000     		dr = 811.729109999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61704377--0.61666028) × cos(-1.23204050) × R
    0.000383490000000042 × 0.332313884236125 × 6371000     		do = 811.914196888137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61704377--0.61666028) × cos(-1.23216791) × R
    0.000383490000000042 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 811.620591270538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23204050)-sin(-1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332313884236125-0.33219371239581)×R²
    abs(-0.61666028--0.61704377)×0.000120171840314764×R²
    0.000383490000000042×0.000120171840314764×6371000²
    0.000383490000000042×0.000120171840314764×40589641000000     		ar = 658935.225213578m²