Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65828 / 75508
↖ ↑ ↗
← S 26.401711°
E  0.802002°		 ← 273.57 m → S 26.401711°
E  0.804748°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
S 26.404170°
E  0.802002°		 ← 273.56 m →
74 822 m²		 S 26.404170°
E  0.804748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502231597900391 y=0.576084136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502231597900391 × 217)
    floor (0.502231597900391 × 131072)
    floor (65828.5)     		tx = 65828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576084136962891 × 217)
    floor (0.576084136962891 × 131072)
    floor (75508.5)     		ty = 75508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65828 / 75508 ti = "17/65828/75508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65828/75508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65828 ÷ 217
    65828 ÷ 131072     		x = 0.502227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75508 ÷ 217
    75508 ÷ 131072     		y = 0.576080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502227783203125 × 2 - 1) × π
    0.00445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01399757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.15216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.4780267630112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01399757} λ = 0.01399757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4780267630112))-π/2
    2×atan(0.620005603543038)-π/2
    2×0.554999774961366-π/2
    1.10999954992273-1.57079632675     		φ = -0.46079678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01399757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.802002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46079678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.401711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65828 KachelY 75508 0.01399757 -0.46079678 0.802002 -26.401711
    Oben rechts KachelX + 1 65829 KachelY 75508 0.01404551 -0.46079678 0.804748 -26.401711
    Unten links KachelX 65828 KachelY + 1 75509 0.01399757 -0.46083971 0.802002 -26.404170
    Unten rechts KachelX + 1 65829 KachelY + 1 75509 0.01404551 -0.46083971 0.804748 -26.404170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46079678--0.46083971) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46079678--0.46083971) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01399757-0.01404551) × cos(-0.46079678) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895698484157087 × 6371000     		do = 273.569372340555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01399757-0.01404551) × cos(-0.46083971) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895679393995373 × 6371000     		du = 273.563541713787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46079678)-sin(-0.46083971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895698484157087-0.895679393995373)×R²
    abs(0.01404551-0.01399757)×1.9090161714086e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.9090161714086e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.9090161714086e-05×40589641000000     		ar = 74822.349180563m²