Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65803 / 75531
↖ ↑ ↗
← S 26.458279°
E  0.733337°		 ← 273.44 m → S 26.458279°
E  0.736084°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
S 26.460738°
E  0.733337°		 ← 273.43 m →
74 751 m²		 S 26.460738°
E  0.736084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502040863037109 y=0.576259613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502040863037109 × 217)
    floor (0.502040863037109 × 131072)
    floor (65803.5)     		tx = 65803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576259613037109 × 217)
    floor (0.576259613037109 × 131072)
    floor (75531.5)     		ty = 75531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65803 / 75531 ti = "17/65803/75531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65803/75531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65803 ÷ 217
    65803 ÷ 131072     		x = 0.502037048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75531 ÷ 217
    75531 ÷ 131072     		y = 0.576255798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502037048339844 × 2 - 1) × π
    0.0040740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01279915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576255798339844 × 2 - 1) × π
    -0.152511596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.479129311702461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01279915} λ = 0.01279915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479129311702461))-π/2
    2×atan(0.619322393881446)-π/2
    2×0.554506120464858-π/2
    1.10901224092972-1.57079632675     		φ = -0.46178409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01279915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.733337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46178409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.458279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65803 KachelY 75531 0.01279915 -0.46178409 0.733337 -26.458279
    Oben rechts KachelX + 1 65804 KachelY 75531 0.01284709 -0.46178409 0.736084 -26.458279
    Unten links KachelX 65803 KachelY + 1 75532 0.01279915 -0.46182700 0.733337 -26.460738
    Unten rechts KachelX + 1 65804 KachelY + 1 75532 0.01284709 -0.46182700 0.736084 -26.460738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46178409--0.46182700) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46178409--0.46182700) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01279915-0.01284709) × cos(-0.46178409) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895259028510621 × 6371000     		do = 273.435151274536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01279915-0.01284709) × cos(-0.46182700) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.895239909305935 × 6371000     		du = 273.429311777297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46178409)-sin(-0.46182700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895259028510621-0.895239909305935)×R²
    abs(0.01284709-0.01279915)×1.91192046854471e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.91192046854471e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.91192046854471e-05×40589641000000     		ar = 74750.7968274636m²