Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65800 / 75527
↖ ↑ ↗
← S 26.448443°
E  0.725098°		 ← 273.46 m → S 26.448443°
E  0.727844°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 26.450902°
E  0.725098°		 ← 273.45 m →
74 775 m²		 S 26.450902°
E  0.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502017974853516 y=0.576229095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502017974853516 × 217)
    floor (0.502017974853516 × 131072)
    floor (65800.5)     		tx = 65800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576229095458984 × 217)
    floor (0.576229095458984 × 131072)
    floor (75527.5)     		ty = 75527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65800 / 75527 ti = "17/65800/75527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65800/75527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65800 ÷ 217
    65800 ÷ 131072     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75527 ÷ 217
    75527 ÷ 131072     		y = 0.576225280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576225280761719 × 2 - 1) × π
    -0.152450561523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.478937564103981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478937564103981))-π/2
    2×atan(0.619441158849243)-π/2
    2×0.554591956015496-π/2
    1.10918391203099-1.57079632675     		φ = -0.46161241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46161241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.448443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65800 KachelY 75527 0.01265534 -0.46161241 0.725098 -26.448443
    Oben rechts KachelX + 1 65801 KachelY 75527 0.01270328 -0.46161241 0.727844 -26.448443
    Unten links KachelX 65800 KachelY + 1 75528 0.01265534 -0.46165533 0.725098 -26.450902
    Unten rechts KachelX + 1 65801 KachelY + 1 75528 0.01270328 -0.46165533 0.727844 -26.450902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46161241--0.46165533) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46161241--0.46165533) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.46161241) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.895335506660586 × 6371000     		do = 273.458509670093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.46165533) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		du = 273.452670826797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46161241)-sin(-0.46165533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895335506660586-0.895316389596988)×R²
    abs(0.01270328-0.01265534)×1.91170635975846e-05×R²
    4.79400000000015e-05×1.91170635975846e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×1.91170635975846e-05×40589641000000     		ar = 74774.6044815175m²