Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65800 / 75526
↖ ↑ ↗
← S 26.445984°
E  0.725098°		 ← 273.46 m → S 26.445984°
E  0.727844°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 26.448443°
E  0.725098°		 ← 273.46 m →
74 776 m²		 S 26.448443°
E  0.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502017974853516 y=0.576221466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502017974853516 × 217)
    floor (0.502017974853516 × 131072)
    floor (65800.5)     		tx = 65800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576221466064453 × 217)
    floor (0.576221466064453 × 131072)
    floor (75526.5)     		ty = 75526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65800 / 75526 ti = "17/65800/75526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65800/75526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65800 ÷ 217
    65800 ÷ 131072     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75526 ÷ 217
    75526 ÷ 131072     		y = 0.576217651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.152435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.478889627204361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478889627204361))-π/2
    2×atan(0.619470853649628)-π/2
    2×0.554613416048686-π/2
    1.10922683209737-1.57079632675     		φ = -0.46156949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46156949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.445984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65800 KachelY 75526 0.01265534 -0.46156949 0.725098 -26.445984
    Oben rechts KachelX + 1 65801 KachelY 75526 0.01270328 -0.46156949 0.727844 -26.445984
    Unten links KachelX 65800 KachelY + 1 75527 0.01265534 -0.46161241 0.725098 -26.448443
    Unten rechts KachelX + 1 65801 KachelY + 1 75527 0.01270328 -0.46161241 0.727844 -26.448443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46156949--0.46161241) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dl = 273.443319999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46156949--0.46161241) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dr = 273.443319999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.46156949) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		do = 273.464348009644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.46161241) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.895335506660586 × 6371000     		du = 273.458509670093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46156949)-sin(-0.46161241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895354622074862-0.895335506660586)×R²
    abs(0.01270328-0.01265534)×1.91154142763494e-05×R²
    4.79400000000015e-05×1.91154142763494e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×1.91154142763494e-05×40589641000000     		ar = 74776.2010053314m²