Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6580 / 1396
↖ ↑ ↗
← N 81.557073°
W 35.419922°		 ← 358.73 m → N 81.557073°
W 35.397949°		 →
↑
358.81 m
↓
↑
358.81 m
↓
N 81.553847°
W 35.419922°		 ← 358.87 m →
128 743 m²		 N 81.553847°
W 35.397949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401641845703125 y=0.085235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401641845703125 × 214)
    floor (0.401641845703125 × 16384)
    floor (6580.5)     		tx = 6580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.085235595703125 × 214)
    floor (0.085235595703125 × 16384)
    floor (1396.5)     		ty = 1396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6580 / 1396 ti = "14/6580/1396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6580/1396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6580 ÷ 214
    6580 ÷ 16384     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1396 ÷ 214
    1396 ÷ 16384     		y = 0.085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085205078125 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60623335854321))-π/2
    2×atan(13.5479244509766)-π/2
    2×1.49711789401404-π/2
    2.99423578802808-1.57079632675     		φ = 1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6580 KachelY 1396 -0.61819426 1.42343946 -35.419922 81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 6581 KachelY 1396 -0.61781076 1.42343946 -35.397949 81.557073
    Unten links KachelX 6580 KachelY + 1 1397 -0.61819426 1.42338314 -35.419922 81.553847
    Unten rechts KachelX + 1 6581 KachelY + 1 1397 -0.61781076 1.42338314 -35.397949 81.553847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42343946-1.42338314) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dl = 358.814719999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42343946-1.42338314) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dr = 358.814719999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61781076) × cos(1.42343946) × R
    0.000383499999999981 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 358.732313041372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61781076) × cos(1.42338314) × R
    0.000383499999999981 × 0.146879869254945 × 6371000     		du = 358.868426633401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42343946)-sin(1.42338314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146879869254945)×R²
    abs(-0.61781076--0.61819426)×5.570940522312e-05×R²
    0.000383499999999981×5.570940522312e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.570940522312e-05×40589641000000     		ar = 128742.854272317m²