Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6580 / 12757
↖ ↑ ↗
← S 70.296526°
W 35.419922°		 ← 823.76 m → S 70.296526°
W 35.397949°		 →
↑
823.64 m
↓
↑
823.64 m
↓
S 70.303933°
W 35.419922°		 ← 823.46 m →
678 359 m²		 S 70.303933°
W 35.397949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401641845703125 y=0.778656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401641845703125 × 214)
    floor (0.401641845703125 × 16384)
    floor (6580.5)     		tx = 6580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778656005859375 × 214)
    floor (0.778656005859375 × 16384)
    floor (12757.5)     		ty = 12757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6580 / 12757 ti = "14/6580/12757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6580/12757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6580 ÷ 214
    6580 ÷ 16384     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12757 ÷ 214
    12757 ÷ 16384     		y = 0.77862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.5572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75065557412445))-π/2
    2×atan(0.173660059083516)-π/2
    2×0.171945246710804-π/2
    0.343890493421607-1.57079632675     		φ = -1.22690583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22690583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.296526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6580 KachelY 12757 -0.61819426 -1.22690583 -35.419922 -70.296526
    Oben rechts KachelX + 1 6581 KachelY 12757 -0.61781076 -1.22690583 -35.397949 -70.296526
    Unten links KachelX 6580 KachelY + 1 12758 -0.61819426 -1.22703511 -35.419922 -70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 6581 KachelY + 1 12758 -0.61781076 -1.22703511 -35.397949 -70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22690583--1.22703511) × R
    0.00012928000000012 × 6371000     		dl = 823.642880000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22690583--1.22703511) × R
    0.00012928000000012 × 6371000     		dr = 823.642880000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61781076) × cos(-1.22690583) × R
    0.000383499999999981 × 0.337152343071512 × 6371000     		do = 823.757071051209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61781076) × cos(-1.22703511) × R
    0.000383499999999981 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 823.459691106432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22690583)-sin(-1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337152343071512-0.337030629584991)×R²
    abs(-0.61781076--0.61819426)×0.000121713486521235×R²
    0.000383499999999981×0.000121713486521235×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121713486521235×40589641000000     		ar = 678359.179929555m²