Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65795 / 74482
↖ ↑ ↗
← S 23.850674°
E  0.711365°		 ← 279.28 m → S 23.850674°
E  0.714111°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
S 23.853186°
E  0.711365°		 ← 279.28 m →
78 005 m²		 S 23.853186°
E  0.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501979827880859 y=0.568256378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501979827880859 × 217)
    floor (0.501979827880859 × 131072)
    floor (65795.5)     		tx = 65795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568256378173828 × 217)
    floor (0.568256378173828 × 131072)
    floor (74482.5)     		ty = 74482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65795 / 74482 ti = "17/65795/74482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65795/74482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65795 ÷ 217
    65795 ÷ 131072     		x = 0.501976013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74482 ÷ 217
    74482 ÷ 131072     		y = 0.568252563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501976013183594 × 2 - 1) × π
    0.0039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01241566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568252563476562 × 2 - 1) × π
    -0.136505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.428843504001022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01241566} λ = 0.01241566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428843504001022))-π/2
    2×atan(0.651261841078838)-π/2
    2×0.577261767940947-π/2
    1.15452353588189-1.57079632675     		φ = -0.41627279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01241566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.711365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41627279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.850674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65795 KachelY 74482 0.01241566 -0.41627279 0.711365 -23.850674
    Oben rechts KachelX + 1 65796 KachelY 74482 0.01246359 -0.41627279 0.714111 -23.850674
    Unten links KachelX 65795 KachelY + 1 74483 0.01241566 -0.41631663 0.711365 -23.853186
    Unten rechts KachelX + 1 65796 KachelY + 1 74483 0.01246359 -0.41631663 0.714111 -23.853186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41627279--0.41631663) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41627279--0.41631663) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01241566-0.01246359) × cos(-0.41627279) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.914602403280143 × 6371000     		do = 279.284846508502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01241566-0.01246359) × cos(-0.41631663) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.914584675506344 × 6371000     		du = 279.279433119508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41627279)-sin(-0.41631663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914602403280143-0.914584675506344)×R²
    abs(0.01246359-0.01241566)×1.77277737988257e-05×R²
    4.79299999999998e-05×1.77277737988257e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.77277737988257e-05×40589641000000     		ar = 78004.7975317555m²