Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65793 / 76033
↖ ↑ ↗
← S 27.685960°
E  0.705871°		 ← 270.46 m → S 27.685960°
E  0.708618°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 27.688392°
E  0.705871°		 ← 270.45 m →
73 144 m²		 S 27.688392°
E  0.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501964569091797 y=0.580089569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501964569091797 × 217)
    floor (0.501964569091797 × 131072)
    floor (65793.5)     		tx = 65793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580089569091797 × 217)
    floor (0.580089569091797 × 131072)
    floor (76033.5)     		ty = 76033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65793 / 76033 ti = "17/65793/76033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65793/76033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65793 ÷ 217
    65793 ÷ 131072     		x = 0.501960754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76033 ÷ 217
    76033 ÷ 131072     		y = 0.580085754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501960754394531 × 2 - 1) × π
    0.0039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01231978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580085754394531 × 2 - 1) × π
    -0.160171508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.503193635311729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01231978} λ = 0.01231978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503193635311729))-π/2
    2×atan(0.604596711786067)-π/2
    2×0.543792582110083-π/2
    1.08758516422017-1.57079632675     		φ = -0.48321116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01231978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.705871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48321116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.685960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65793 KachelY 76033 0.01231978 -0.48321116 0.705871 -27.685960
    Oben rechts KachelX + 1 65794 KachelY 76033 0.01236772 -0.48321116 0.708618 -27.685960
    Unten links KachelX 65793 KachelY + 1 76034 0.01231978 -0.48325361 0.705871 -27.688392
    Unten rechts KachelX + 1 65794 KachelY + 1 76034 0.01236772 -0.48325361 0.708618 -27.688392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48321116--0.48325361) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dl = 270.448950000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48321116--0.48325361) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dr = 270.448950000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01231978-0.01236772) × cos(-0.48321116) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885507505368686 × 6371000     		do = 270.456785102784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01231978-0.01236772) × cos(-0.48325361) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885487781236523 × 6371000     		du = 270.450760845122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48321116)-sin(-0.48325361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885507505368686-0.885487781236523)×R²
    abs(0.01236772-0.01231978)×1.97241321623354e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97241321623354e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97241321623354e-05×40589641000000     		ar = 73143.9389354397m²