Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6578 / 12809
↖ ↑ ↗
← S 70.678152°
W 35.463867°		 ← 808.42 m → S 70.678152°
W 35.441894°		 →
↑
808.29 m
↓
↑
808.29 m
↓
S 70.685422°
W 35.463867°		 ← 808.13 m →
653 317 m²		 S 70.685422°
W 35.441894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401519775390625 y=0.781829833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401519775390625 × 214)
    floor (0.401519775390625 × 16384)
    floor (6578.5)     		tx = 6578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781829833984375 × 214)
    floor (0.781829833984375 × 16384)
    floor (12809.5)     		ty = 12809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6578 / 12809 ti = "14/6578/12809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6578/12809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6578 ÷ 214
    6578 ÷ 16384     		x = 0.4014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12809 ÷ 214
    12809 ÷ 16384     		y = 0.78179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77059732436639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61896125} λ = -0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77059732436639))-π/2
    2×atan(0.170231275161832)-π/2
    2×0.168614927602081-π/2
    0.337229855204162-1.57079632675     		φ = -1.23356647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23356647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.678152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6578 KachelY 12809 -0.61896125 -1.23356647 -35.463867 -70.678152
    Oben rechts KachelX + 1 6579 KachelY 12809 -0.61857775 -1.23356647 -35.441894 -70.678152
    Unten links KachelX 6578 KachelY + 1 12810 -0.61896125 -1.23369334 -35.463867 -70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 6579 KachelY + 1 12810 -0.61857775 -1.23369334 -35.441894 -70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23356647--1.23369334) × R
    0.000126870000000112 × 6371000     		dl = 808.288770000715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23356647--1.23369334) × R
    0.000126870000000112 × 6371000     		dr = 808.288770000715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61896125--0.61857775) × cos(-1.23356647) × R
    0.000383499999999981 × 0.330874250512052 × 6371000     		do = 808.417942479671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61896125--0.61857775) × cos(-1.23369334) × R
    0.000383499999999981 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 808.125416828942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23356647)-sin(-1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330874250512052-0.330754523820752)×R²
    abs(-0.61857775--0.61896125)×0.000119726691299948×R²
    0.000383499999999981×0.000119726691299948×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119726691299948×40589641000000     		ar = 653316.922650259m²