Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6577 / 12811
↖ ↑ ↗
← S 70.692688°
W 35.485840°		 ← 807.81 m → S 70.692688°
W 35.463867°		 →
↑
807.65 m
↓
↑
807.65 m
↓
S 70.699951°
W 35.485840°		 ← 807.52 m →
652 313 m²		 S 70.699951°
W 35.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401458740234375 y=0.781951904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401458740234375 × 214)
    floor (0.401458740234375 × 16384)
    floor (6577.5)     		tx = 6577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781951904296875 × 214)
    floor (0.781951904296875 × 16384)
    floor (12811.5)     		ty = 12811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6577 / 12811 ti = "14/6577/12811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6577/12811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6577 ÷ 214
    6577 ÷ 16384     		x = 0.40142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12811 ÷ 214
    12811 ÷ 16384     		y = 0.78192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61934474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.5638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77136431476031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61934474} λ = -0.61934474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77136431476031))-π/2
    2×atan(0.170100759467578)-π/2
    2×0.168488084827423-π/2
    0.336976169654847-1.57079632675     		φ = -1.23382016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61934474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23382016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.692688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6577 KachelY 12811 -0.61934474 -1.23382016 -35.485840 -70.692688
    Oben rechts KachelX + 1 6578 KachelY 12811 -0.61896125 -1.23382016 -35.463867 -70.692688
    Unten links KachelX 6577 KachelY + 1 12812 -0.61934474 -1.23394693 -35.485840 -70.699951
    Unten rechts KachelX + 1 6578 KachelY + 1 12812 -0.61896125 -1.23394693 -35.463867 -70.699951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23382016--1.23394693) × R
    0.000126770000000054 × 6371000     		dl = 807.651670000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23382016--1.23394693) × R
    0.000126770000000054 × 6371000     		dr = 807.651670000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61934474--0.61896125) × cos(-1.23382016) × R
    0.000383489999999931 × 0.330634838993567 × 6371000     		do = 807.811928718206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61934474--0.61896125) × cos(-1.23394693) × R
    0.000383489999999931 × 0.330515196038713 × 6371000     		du = 807.519615281387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23382016)-sin(-1.23394693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330634838993567-0.330515196038713)×R²
    abs(-0.61896125--0.61934474)×0.00011964295485456×R²
    0.000383489999999931×0.00011964295485456×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011964295485456×40589641000000     		ar = 652312.610430339m²