Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6575 / 6227
↖ ↑ ↗
← S 67.925141°
E108.940430°		 ← 1 836.43 m → S 67.925141°
E108.984375°		 →
↑
1 835.74 m
↓
↑
1 835.74 m
↓
S 67.941650°
E108.940430°		 ← 1 835.13 m →
3 370 011 m²		 S 67.941650°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80267333984375 y=0.76019287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80267333984375 × 213)
    floor (0.80267333984375 × 8192)
    floor (6575.5)     		tx = 6575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76019287109375 × 213)
    floor (0.76019287109375 × 8192)
    floor (6227.5)     		ty = 6227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6575 / 6227 ti = "13/6575/6227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6575/6227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6575 ÷ 213
    6575 ÷ 8192     		x = 0.8026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6227 ÷ 213
    6227 ÷ 8192     		y = 0.7601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    0.605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90136919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63445652944543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90136919} λ = 1.90136919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63445652944543))-π/2
    2×atan(0.195058350968333)-π/2
    2×0.192639490295502-π/2
    0.385278980591005-1.57079632675     		φ = -1.18551735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90136919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18551735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.925141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6575 KachelY 6227 1.90136919 -1.18551735 108.940430 -67.925141
    Oben rechts KachelX + 1 6576 KachelY 6227 1.90213618 -1.18551735 108.984375 -67.925141
    Unten links KachelX 6575 KachelY + 1 6228 1.90136919 -1.18580549 108.940430 -67.941650
    Unten rechts KachelX + 1 6576 KachelY + 1 6228 1.90213618 -1.18580549 108.984375 -67.941650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18551735--1.18580549) × R
    0.000288139999999881 × 6371000     		dl = 1835.73993999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18551735--1.18580549) × R
    0.000288139999999881 × 6371000     		dr = 1835.73993999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90136919-1.90213618) × cos(-1.18551735) × R
    0.000766990000000023 × 0.375817677385892 × 6371000     		do = 1836.4305588096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90136919-1.90213618) × cos(-1.18580549) × R
    0.000766990000000023 × 0.375550644287607 × 6371000     		du = 1835.12570336662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18551735)-sin(-1.18580549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375817677385892-0.375550644287607)×R²
    abs(1.90213618-1.90136919)×0.000267033098285296×R²
    0.000766990000000023×0.000267033098285296×6371000²
    0.000766990000000023×0.000267033098285296×40589641000000     		ar = 3370011.25952981m²