Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6575 / 3281
↖ ↑ ↗
← N 33.687782°
E108.940430°		 ← 4 065.92 m → N 33.687782°
E108.984375°		 →
↑
4 066.80 m
↓
↑
4 066.80 m
↓
N 33.651208°
E108.940430°		 ← 4 067.65 m →
16 538 787 m²		 N 33.651208°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80267333984375 y=0.40057373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80267333984375 × 213)
    floor (0.80267333984375 × 8192)
    floor (6575.5)     		tx = 6575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40057373046875 × 213)
    floor (0.40057373046875 × 8192)
    floor (3281.5)     		ty = 3281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6575 / 3281 ti = "13/6575/3281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6575/3281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6575 ÷ 213
    6575 ÷ 8192     		x = 0.8026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3281 ÷ 213
    3281 ÷ 8192     		y = 0.4005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    0.605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90136919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4005126953125 × 2 - 1) × π
    0.198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90136919} λ = 1.90136919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625097171045532))-π/2
    2×atan(1.86842750566569)-π/2
    2×1.07937951807904-π/2
    2.15875903615808-1.57079632675     		φ = 0.58796271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90136919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58796271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.687782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6575 KachelY 3281 1.90136919 0.58796271 108.940430 33.687782
    Oben rechts KachelX + 1 6576 KachelY 3281 1.90213618 0.58796271 108.984375 33.687782
    Unten links KachelX 6575 KachelY + 1 3282 1.90136919 0.58732438 108.940430 33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 6576 KachelY + 1 3282 1.90213618 0.58732438 108.984375 33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58796271-0.58732438) × R
    0.00063833000000002 × 6371000     		dl = 4066.80043000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58796271-0.58732438) × R
    0.00063833000000002 × 6371000     		dr = 4066.80043000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90136919-1.90213618) × cos(0.58796271) × R
    0.000766990000000023 × 0.8320724226344 × 6371000     		do = 4065.91630999716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90136919-1.90213618) × cos(0.58732438) × R
    0.000766990000000023 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 4067.64559620561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58796271)-sin(0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8320724226344-0.832426313677695)×R²
    abs(1.90213618-1.90136919)×0.000353891043295196×R²
    0.000766990000000023×0.000353891043295196×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353891043295196×40589641000000     		ar = 16538787.0903735m²