Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6575 / 12803
↖ ↑ ↗
← S 70.634484°
W 35.529785°		 ← 810.15 m → S 70.634484°
W 35.507813°		 →
↑
810.01 m
↓
↑
810.01 m
↓
S 70.641769°
W 35.529785°		 ← 809.86 m →
656 113 m²		 S 70.641769°
W 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401336669921875 y=0.781463623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401336669921875 × 214)
    floor (0.401336669921875 × 16384)
    floor (6575.5)     		tx = 6575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781463623046875 × 214)
    floor (0.781463623046875 × 16384)
    floor (12803.5)     		ty = 12803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6575 / 12803 ti = "14/6575/12803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6575/12803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6575 ÷ 214
    6575 ÷ 16384     		x = 0.40130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12803 ÷ 214
    12803 ÷ 16384     		y = 0.78143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.5628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76829635318463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62011173} λ = -0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76829635318463))-π/2
    2×atan(0.170623423408103)-π/2
    2×0.168996007203549-π/2
    0.337992014407099-1.57079632675     		φ = -1.23280431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23280431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.634484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6575 KachelY 12803 -0.62011173 -1.23280431 -35.529785 -70.634484
    Oben rechts KachelX + 1 6576 KachelY 12803 -0.61972824 -1.23280431 -35.507813 -70.634484
    Unten links KachelX 6575 KachelY + 1 12804 -0.62011173 -1.23293145 -35.529785 -70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 6576 KachelY + 1 12804 -0.61972824 -1.23293145 -35.507813 -70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23280431--1.23293145) × R
    0.000127140000000026 × 6371000     		dl = 810.008940000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23280431--1.23293145) × R
    0.000127140000000026 × 6371000     		dr = 810.008940000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62011173--0.61972824) × cos(-1.23280431) × R
    0.000383489999999931 × 0.331593385568842 × 6371000     		do = 810.153863887822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62011173--0.61972824) × cos(-1.23293145) × R
    0.000383489999999931 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 809.86080173048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23280431)-sin(-1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331593385568842-0.331473436165073)×R²
    abs(-0.61972824--0.62011173)×0.000119949403769692×R²
    0.000383489999999931×0.000119949403769692×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119949403769692×40589641000000     		ar = 656113.181926348m²