Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6574 / 12756
↖ ↑ ↗
← S 70.289116°
W 35.551758°		 ← 824.05 m → S 70.289116°
W 35.529785°		 →
↑
823.90 m
↓
↑
823.90 m
↓
S 70.296526°
W 35.551758°		 ← 823.76 m →
678 814 m²		 S 70.296526°
W 35.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401275634765625 y=0.778594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401275634765625 × 214)
    floor (0.401275634765625 × 16384)
    floor (6574.5)     		tx = 6574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778594970703125 × 214)
    floor (0.778594970703125 × 16384)
    floor (12756.5)     		ty = 12756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6574 / 12756 ti = "14/6574/12756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6574/12756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6574 ÷ 214
    6574 ÷ 16384     		x = 0.4012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12756 ÷ 214
    12756 ÷ 16384     		y = 0.778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62049523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62049523} λ = -0.62049523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75027207892749))-π/2
    2×atan(0.173726669653679)-π/2
    2×0.172009906533861-π/2
    0.344019813067722-1.57079632675     		φ = -1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62049523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6574 KachelY 12756 -0.62049523 -1.22677651 -35.551758 -70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 6575 KachelY 12756 -0.62011173 -1.22677651 -35.529785 -70.289116
    Unten links KachelX 6574 KachelY + 1 12757 -0.62049523 -1.22690583 -35.551758 -70.296526
    Unten rechts KachelX + 1 6575 KachelY + 1 12757 -0.62011173 -1.22690583 -35.529785 -70.296526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22677651--1.22690583) × R
    0.000129319999999877 × 6371000     		dl = 823.897719999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22677651--1.22690583) × R
    0.000129319999999877 × 6371000     		dr = 823.897719999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62049523--0.62011173) × cos(-1.22677651) × R
    0.000383499999999981 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 824.054529233002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62049523--0.62011173) × cos(-1.22690583) × R
    0.000383499999999981 × 0.337152343071512 × 6371000     		du = 823.757071051209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22677651)-sin(-1.22690583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337152343071512)×R²
    abs(-0.62011173--0.62049523)×0.000121745507846605×R²
    0.000383499999999981×0.000121745507846605×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121745507846605×40589641000000     		ar = 678814.111176392m²