Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6573 / 6230
↖ ↑ ↗
← S 67.974634°
E108.852539°		 ← 1 832.52 m → S 67.974634°
E108.896485°		 →
↑
1 831.85 m
↓
↑
1 831.85 m
↓
S 67.991108°
E108.852539°		 ← 1 831.22 m →
3 355 712 m²		 S 67.991108°
E108.896485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80242919921875 y=0.76055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80242919921875 × 213)
    floor (0.80242919921875 × 8192)
    floor (6573.5)     		tx = 6573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76055908203125 × 213)
    floor (0.76055908203125 × 8192)
    floor (6230.5)     		ty = 6230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6573 / 6230 ti = "13/6573/6230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6573/6230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6573 ÷ 213
    6573 ÷ 8192     		x = 0.8023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6230 ÷ 213
    6230 ÷ 8192     		y = 0.760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8023681640625 × 2 - 1) × π
    0.604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89983521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.52099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6367575006272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89983521} λ = 1.89983521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6367575006272))-π/2
    2×atan(0.194610043293309)-π/2
    2×0.192207578168376-π/2
    0.384415156336752-1.57079632675     		φ = -1.18638117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89983521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.852539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18638117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.974634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6573 KachelY 6230 1.89983521 -1.18638117 108.852539 -67.974634
    Oben rechts KachelX + 1 6574 KachelY 6230 1.90060220 -1.18638117 108.896485 -67.974634
    Unten links KachelX 6573 KachelY + 1 6231 1.89983521 -1.18666870 108.852539 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 6574 KachelY + 1 6231 1.90060220 -1.18666870 108.896485 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18638117--1.18666870) × R
    0.000287530000000036 × 6371000     		dl = 1831.85363000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18638117--1.18666870) × R
    0.000287530000000036 × 6371000     		dr = 1831.85363000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89983521-1.90060220) × cos(-1.18638117) × R
    0.000766990000000023 × 0.375017040784134 × 6371000     		do = 1832.51825342738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89983521-1.90060220) × cos(-1.18666870) × R
    0.000766990000000023 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 1831.21570508451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18638117)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375017040784134-0.37475047982404)×R²
    abs(1.90060220-1.89983521)×0.000266560960093865×R²
    0.000766990000000023×0.000266560960093865×6371000²
    0.000766990000000023×0.000266560960093865×40589641000000     		ar = 3355712.19874612m²