Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6573 / 12804
↖ ↑ ↗
← S 70.641769°
W 35.573730°		 ← 809.86 m → S 70.641769°
W 35.551758°		 →
↑
809.75 m
↓
↑
809.75 m
↓
S 70.649051°
W 35.573730°		 ← 809.57 m →
655 669 m²		 S 70.649051°
W 35.551758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401214599609375 y=0.781524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401214599609375 × 214)
    floor (0.401214599609375 × 16384)
    floor (6573.5)     		tx = 6573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781524658203125 × 214)
    floor (0.781524658203125 × 16384)
    floor (12804.5)     		ty = 12804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6573 / 12804 ti = "14/6573/12804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6573/12804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6573 ÷ 214
    6573 ÷ 16384     		x = 0.40118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12804 ÷ 214
    12804 ÷ 16384     		y = 0.781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62087872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62087872} λ = -0.62087872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76867984838159))-π/2
    2×atan(0.170558002689805)-π/2
    2×0.168932436469372-π/2
    0.337864872938745-1.57079632675     		φ = -1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62087872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.573730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6573 KachelY 12804 -0.62087872 -1.23293145 -35.573730 -70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 6574 KachelY 12804 -0.62049523 -1.23293145 -35.551758 -70.641769
    Unten links KachelX 6573 KachelY + 1 12805 -0.62087872 -1.23305855 -35.573730 -70.649051
    Unten rechts KachelX + 1 6574 KachelY + 1 12805 -0.62049523 -1.23305855 -35.551758 -70.649051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23293145--1.23305855) × R
    0.000127100000000047 × 6371000     		dl = 809.754100000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23293145--1.23305855) × R
    0.000127100000000047 × 6371000     		dr = 809.754100000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62087872--0.62049523) × cos(-1.23293145) × R
    0.000383490000000042 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 809.860801730715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62087872--0.62049523) × cos(-1.23305855) × R
    0.000383490000000042 × 0.331353519143441 × 6371000     		du = 809.567818689893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23293145)-sin(-1.23305855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331353519143441)×R²
    abs(-0.62049523--0.62087872)×0.000119917021631222×R²
    0.000383490000000042×0.000119917021631222×6371000²
    0.000383490000000042×0.000119917021631222×40589641000000     		ar = 655669.483404392m²