Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65725 / 65741
↖ ↑ ↗
← S  0.563040°
E  0.519104°		 ← 305.41 m → S  0.563040°
E  0.521851°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.565787°
E  0.519104°		 ← 305.41 m →
93 261 m²		 S  0.565787°
E  0.521851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501445770263672 y=0.501567840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501445770263672 × 217)
    floor (0.501445770263672 × 131072)
    floor (65725.5)     		tx = 65725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501567840576172 × 217)
    floor (0.501567840576172 × 131072)
    floor (65741.5)     		ty = 65741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65725 / 65741 ti = "17/65725/65741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65725/65741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65725 ÷ 217
    65725 ÷ 131072     		x = 0.501441955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65741 ÷ 217
    65741 ÷ 131072     		y = 0.501564025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501441955566406 × 2 - 1) × π
    0.0028839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00906007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501564025878906 × 2 - 1) × π
    -0.0031280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00982706442211151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00906007} λ = 0.00906007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00982706442211151))-π/2
    2×atan(0.990221063394728)-π/2
    2×0.780484710268763-π/2
    1.56096942053753-1.57079632675     		φ = -0.00982691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00906007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.519104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00982691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.563040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65725 KachelY 65741 0.00906007 -0.00982691 0.519104 -0.563040
    Oben rechts KachelX + 1 65726 KachelY 65741 0.00910801 -0.00982691 0.521851 -0.563040
    Unten links KachelX 65725 KachelY + 1 65742 0.00906007 -0.00987484 0.519104 -0.565787
    Unten rechts KachelX + 1 65726 KachelY + 1 65742 0.00910801 -0.00987484 0.521851 -0.565787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00982691--0.00987484) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00982691--0.00987484) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00906007-0.00910801) × cos(-0.00982691) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999951716308483 × 6371000     		do = 305.410992917787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00906007-0.00910801) × cos(-0.00987484) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999951244163681 × 6371000     		du = 305.410848712612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00982691)-sin(-0.00987484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999951716308483-0.999951244163681)×R²
    abs(0.00910801-0.00906007)×4.72144802476926e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.72144802476926e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.72144802476926e-07×40589641000000     		ar = 93260.8987821498m²