Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65723 / 65745
↖ ↑ ↗
← S  0.574026°
E  0.513611°		 ← 305.41 m → S  0.574026°
E  0.516358°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.576773°
E  0.513611°		 ← 305.41 m →
93 280 m²		 S  0.576773°
E  0.516358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501430511474609 y=0.501598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501430511474609 × 217)
    floor (0.501430511474609 × 131072)
    floor (65723.5)     		tx = 65723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501598358154297 × 217)
    floor (0.501598358154297 × 131072)
    floor (65745.5)     		ty = 65745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65723 / 65745 ti = "17/65723/65745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65723/65745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65723 ÷ 217
    65723 ÷ 131072     		x = 0.501426696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65745 ÷ 217
    65745 ÷ 131072     		y = 0.501594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501426696777344 × 2 - 1) × π
    0.0028533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00896420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501594543457031 × 2 - 1) × π
    -0.0031890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0100188120205917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00896420} λ = 0.00896420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0100188120205917))-π/2
    2×atan(0.990031209086493)-π/2
    2×0.780388841189569-π/2
    1.56077768237914-1.57079632675     		φ = -0.01001864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00896420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.513611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01001864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.574026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65723 KachelY 65745 0.00896420 -0.01001864 0.513611 -0.574026
    Oben rechts KachelX + 1 65724 KachelY 65745 0.00901214 -0.01001864 0.516358 -0.574026
    Unten links KachelX 65723 KachelY + 1 65746 0.00896420 -0.01006658 0.513611 -0.576773
    Unten rechts KachelX + 1 65724 KachelY + 1 65746 0.00901214 -0.01006658 0.516358 -0.576773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01001864--0.01006658) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01001864--0.01006658) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00896420-0.00901214) × cos(-0.01001864) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999949813846056 × 6371000     		do = 305.410411856793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00896420-0.00901214) × cos(-0.01006658) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999949332411425 × 6371000     		du = 305.410264814264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01001864)-sin(-0.01006658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999949813846056-0.999949332411425)×R²
    abs(0.00901214-0.00896420)×4.81434630827948e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.81434630827948e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.81434630827948e-07×40589641000000     		ar = 93280.1786076458m²