Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65716 / 65740
↖ ↑ ↗
← S  0.560294°
E  0.494385°		 ← 305.41 m → S  0.560294°
E  0.497131°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.563040°
E  0.494385°		 ← 305.41 m →
93 280 m²		 S  0.563040°
E  0.497131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501377105712891 y=0.501560211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501377105712891 × 217)
    floor (0.501377105712891 × 131072)
    floor (65716.5)     		tx = 65716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501560211181641 × 217)
    floor (0.501560211181641 × 131072)
    floor (65740.5)     		ty = 65740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65716 / 65740 ti = "17/65716/65740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65716/65740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65716 ÷ 217
    65716 ÷ 131072     		x = 0.501373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65740 ÷ 217
    65740 ÷ 131072     		y = 0.501556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501373291015625 × 2 - 1) × π
    0.00274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00862864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.00311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00977912752249145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00862864} λ = 0.00862864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00977912752249145))-π/2
    2×atan(0.990268532660201)-π/2
    2×0.780508677566925-π/2
    1.56101735513385-1.57079632675     		φ = -0.00977897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00862864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00977897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.560294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65716 KachelY 65740 0.00862864 -0.00977897 0.494385 -0.560294
    Oben rechts KachelX + 1 65717 KachelY 65740 0.00867658 -0.00977897 0.497131 -0.560294
    Unten links KachelX 65716 KachelY + 1 65741 0.00862864 -0.00982691 0.494385 -0.563040
    Unten rechts KachelX + 1 65717 KachelY + 1 65741 0.00867658 -0.00982691 0.497131 -0.563040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00977897--0.00982691) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00977897--0.00982691) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00862864-0.00867658) × cos(-0.00977897) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.9999521862539 × 6371000     		do = 305.411136451214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00862864-0.00867658) × cos(-0.00982691) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999951716308483 × 6371000     		du = 305.410992917787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00977897)-sin(-0.00982691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9999521862539-0.999951716308483)×R²
    abs(0.00867658-0.00862864)×4.69945416692319e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.69945416692319e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.69945416692319e-07×40589641000000     		ar = 93280.400453319m²