Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65715 / 76619
↖ ↑ ↗
← S 29.101777°
E  0.491638°		 ← 266.81 m → S 29.101777°
E  0.494385°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.104177°
E  0.491638°		 ← 266.81 m →
71 206 m²		 S 29.104177°
E  0.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501369476318359 y=0.584560394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501369476318359 × 217)
    floor (0.501369476318359 × 131072)
    floor (65715.5)     		tx = 65715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584560394287109 × 217)
    floor (0.584560394287109 × 131072)
    floor (76619.5)     		ty = 76619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65715 / 76619 ti = "17/65715/76619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65715/76619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65715 ÷ 217
    65715 ÷ 131072     		x = 0.501365661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76619 ÷ 217
    76619 ÷ 131072     		y = 0.584556579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501365661621094 × 2 - 1) × π
    0.0027313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00858071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584556579589844 × 2 - 1) × π
    -0.169113159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.531284658489082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00858071} λ = 0.00858071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531284658489082))-π/2
    2×atan(0.587849298800772)-π/2
    2×0.531437251155561-π/2
    1.06287450231112-1.57079632675     		φ = -0.50792182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00858071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.491638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50792182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.101777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65715 KachelY 76619 0.00858071 -0.50792182 0.491638 -29.101777
    Oben rechts KachelX + 1 65716 KachelY 76619 0.00862864 -0.50792182 0.494385 -29.101777
    Unten links KachelX 65715 KachelY + 1 76620 0.00858071 -0.50796371 0.491638 -29.104177
    Unten rechts KachelX + 1 65716 KachelY + 1 76620 0.00862864 -0.50796371 0.494385 -29.104177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50792182--0.50796371) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50792182--0.50796371) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00858071-0.00862864) × cos(-0.50792182) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.873757142488597 × 6371000     		do = 266.812254757316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00858071-0.00862864) × cos(-0.50796371) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		du = 266.806033161493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50792182)-sin(-0.50796371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873757142488597-0.873736767997952)×R²
    abs(0.00862864-0.00858071)×2.03744906451808e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.03744906451808e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.03744906451808e-05×40589641000000     		ar = 71206.3418531293m²