Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65714 / 76620
↖ ↑ ↗
← S 29.104177°
E  0.488892°		 ← 266.86 m → S 29.104177°
E  0.491638°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.106576°
E  0.488892°		 ← 266.86 m →
71 203 m²		 S 29.106576°
E  0.491638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501361846923828 y=0.584568023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501361846923828 × 217)
    floor (0.501361846923828 × 131072)
    floor (65714.5)     		tx = 65714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584568023681641 × 217)
    floor (0.584568023681641 × 131072)
    floor (76620.5)     		ty = 76620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65714 / 76620 ti = "17/65714/76620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65714/76620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65714 ÷ 217
    65714 ÷ 131072     		x = 0.501358032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76620 ÷ 217
    76620 ÷ 131072     		y = 0.584564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501358032226562 × 2 - 1) × π
    0.002716064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00853277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.16912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.531332595388702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00853277} λ = 0.00853277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531332595388702))-π/2
    2×atan(0.587821119803356)-π/2
    2×0.531416308795537-π/2
    1.06283261759107-1.57079632675     		φ = -0.50796371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00853277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.488892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50796371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.104177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65714 KachelY 76620 0.00853277 -0.50796371 0.488892 -29.104177
    Oben rechts KachelX + 1 65715 KachelY 76620 0.00858071 -0.50796371 0.491638 -29.104177
    Unten links KachelX 65714 KachelY + 1 76621 0.00853277 -0.50800559 0.488892 -29.106576
    Unten rechts KachelX + 1 65715 KachelY + 1 76621 0.00858071 -0.50800559 0.491638 -29.106576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50796371--0.50800559) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50796371--0.50800559) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00853277-0.00858071) × cos(-0.50796371) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		do = 266.861698930982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00853277-0.00858071) × cos(-0.50800559) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.873716396838455 × 6371000     		du = 266.855477054517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50796371)-sin(-0.50800559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873736767997952-0.873716396838455)×R²
    abs(0.00858071-0.00853277)×2.03711594972678e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.03711594972678e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.03711594972678e-05×40589641000000     		ar = 71202.5359750497m²