Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6570 / 6244
↖ ↑ ↗
← S 68.204212°
E108.720703°		 ← 1 814.35 m → S 68.204212°
E108.764648°		 →
↑
1 813.70 m
↓
↑
1 813.70 m
↓
S 68.220523°
E108.720703°		 ← 1 813.06 m →
3 289 514 m²		 S 68.220523°
E108.764648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80206298828125 y=0.76226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80206298828125 × 213)
    floor (0.80206298828125 × 8192)
    floor (6570.5)     		tx = 6570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76226806640625 × 213)
    floor (0.76226806640625 × 8192)
    floor (6244.5)     		ty = 6244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6570 / 6244 ti = "13/6570/6244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6570/6244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6570 ÷ 213
    6570 ÷ 8192     		x = 0.802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6244 ÷ 213
    6244 ÷ 8192     		y = 0.76220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89753423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89753423} λ = 1.89753423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64749536614209))-π/2
    2×atan(0.192531526210382)-π/2
    2×0.190204130194325-π/2
    0.380408260388649-1.57079632675     		φ = -1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89753423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6570 KachelY 6244 1.89753423 -1.19038807 108.720703 -68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 6571 KachelY 6244 1.89830122 -1.19038807 108.764648 -68.204212
    Unten links KachelX 6570 KachelY + 1 6245 1.89753423 -1.19067275 108.720703 -68.220523
    Unten rechts KachelX + 1 6571 KachelY + 1 6245 1.89830122 -1.19067275 108.764648 -68.220523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19038807--1.19067275) × R
    0.000284680000000037 × 6371000     		dl = 1813.69628000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19038807--1.19067275) × R
    0.000284680000000037 × 6371000     		dr = 1813.69628000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89753423-1.89830122) × cos(-1.19038807) × R
    0.000766990000000023 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 1814.35286783607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89753423-1.89830122) × cos(-1.19067275) × R
    0.000766990000000023 × 0.371035227979684 × 6371000     		du = 1813.0611518764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19038807)-sin(-1.19067275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.371035227979684)×R²
    abs(1.89830122-1.89753423)×0.000264344159094432×R²
    0.000766990000000023×0.000264344159094432×6371000²
    0.000766990000000023×0.000264344159094432×40589641000000     		ar = 3289513.67900004m²