Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6570 / 12807
↖ ↑ ↗
← S 70.663607°
W 35.639648°		 ← 809 m → S 70.663607°
W 35.617676°		 →
↑
808.86 m
↓
↑
808.86 m
↓
S 70.670881°
W 35.639648°		 ← 808.71 m →
654 254 m²		 S 70.670881°
W 35.617676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401031494140625 y=0.781707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401031494140625 × 214)
    floor (0.401031494140625 × 16384)
    floor (6570.5)     		tx = 6570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781707763671875 × 214)
    floor (0.781707763671875 × 16384)
    floor (12807.5)     		ty = 12807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6570 / 12807 ti = "14/6570/12807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6570/12807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6570 ÷ 214
    6570 ÷ 16384     		x = 0.4010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12807 ÷ 214
    12807 ÷ 16384     		y = 0.78167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62202921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62202921} λ = -0.62202921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76983033397247))-π/2
    2×atan(0.170361890998769)-π/2
    2×0.168741862217444-π/2
    0.337483724434889-1.57079632675     		φ = -1.23331260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62202921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23331260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.663607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6570 KachelY 12807 -0.62202921 -1.23331260 -35.639648 -70.663607
    Oben rechts KachelX + 1 6571 KachelY 12807 -0.62164571 -1.23331260 -35.617676 -70.663607
    Unten links KachelX 6570 KachelY + 1 12808 -0.62202921 -1.23343956 -35.639648 -70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 6571 KachelY + 1 12808 -0.62164571 -1.23343956 -35.617676 -70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23331260--1.23343956) × R
    0.000126960000000009 × 6371000     		dl = 808.862160000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23331260--1.23343956) × R
    0.000126960000000009 × 6371000     		dr = 808.862160000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62202921--0.62164571) × cos(-1.23331260) × R
    0.000383499999999981 × 0.331113810582282 × 6371000     		do = 809.003254448722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62202921--0.62164571) × cos(-1.23343956) × R
    0.000383499999999981 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 808.710547340423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23331260)-sin(-1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331113810582282-0.330994009622915)×R²
    abs(-0.62164571--0.62202921)×0.000119800959366478×R²
    0.000383499999999981×0.000119800959366478×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119800959366478×40589641000000     		ar = 654253.740868451m²