Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65669 / 32135
↖ ↑ ↗
← N 67.196582°
E  0.365296°		 ← 118.35 m → N 67.196582°
E  0.368042°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 67.195517°
E  0.365296°		 ← 118.35 m →
14 010 m²		 N 67.195517°
E  0.368042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501018524169922 y=0.245174407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501018524169922 × 217)
    floor (0.501018524169922 × 131072)
    floor (65669.5)     		tx = 65669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245174407958984 × 217)
    floor (0.245174407958984 × 131072)
    floor (32135.5)     		ty = 32135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65669 / 32135 ti = "17/65669/32135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65669/32135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65669 ÷ 217
    65669 ÷ 131072     		x = 0.501014709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32135 ÷ 217
    32135 ÷ 131072     		y = 0.245170593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501014709472656 × 2 - 1) × π
    0.0020294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00637561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245170593261719 × 2 - 1) × π
    0.509658813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.6011403842095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00637561} λ = 0.00637561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6011403842095))-π/2
    2×atan(4.95868400623588)-π/2
    2×1.37179896468776-π/2
    2.74359792937552-1.57079632675     		φ = 1.17280160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00637561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.365296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17280160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.196582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65669 KachelY 32135 0.00637561 1.17280160 0.365296 67.196582
    Oben rechts KachelX + 1 65670 KachelY 32135 0.00642354 1.17280160 0.368042 67.196582
    Unten links KachelX 65669 KachelY + 1 32136 0.00637561 1.17278302 0.365296 67.195517
    Unten rechts KachelX + 1 65670 KachelY + 1 32136 0.00642354 1.17278302 0.368042 67.195517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17280160-1.17278302) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17280160-1.17278302) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00637561-0.00642354) × cos(1.17280160) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.387570581666129 × 6371000     		do = 118.34933958585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00637561-0.00642354) × cos(1.17278302) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.387587709387021 × 6371000     		du = 118.35456974147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17280160)-sin(1.17278302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387570581666129-0.387587709387021)×R²
    abs(0.00642354-0.00637561)×1.71277208920739e-05×R²
    4.79299999999998e-05×1.71277208920739e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.71277208920739e-05×40589641000000     		ar = 14009.6972331957m²