Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65636 / 76714
↖ ↑ ↗
← S 29.329510°
E  0.274658°		 ← 266.28 m → S 29.329510°
E  0.277405°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 29.331904°
E  0.274658°		 ← 266.27 m →
70 893 m²		 S 29.331904°
E  0.277405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500766754150391 y=0.585285186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500766754150391 × 217)
    floor (0.500766754150391 × 131072)
    floor (65636.5)     		tx = 65636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585285186767578 × 217)
    floor (0.585285186767578 × 131072)
    floor (76714.5)     		ty = 76714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65636 / 76714 ti = "17/65636/76714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65636/76714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65636 ÷ 217
    65636 ÷ 131072     		x = 0.500762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76714 ÷ 217
    76714 ÷ 131072     		y = 0.585281372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500762939453125 × 2 - 1) × π
    0.00152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00479369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585281372070312 × 2 - 1) × π
    -0.170562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535838663952988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00479369} λ = 0.00479369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535838663952988))-π/2
    2×atan(0.585178316332574)-π/2
    2×0.52944991069148-π/2
    1.05889982138296-1.57079632675     		φ = -0.51189651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00479369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51189651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.329510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65636 KachelY 76714 0.00479369 -0.51189651 0.274658 -29.329510
    Oben rechts KachelX + 1 65637 KachelY 76714 0.00484163 -0.51189651 0.277405 -29.329510
    Unten links KachelX 65636 KachelY + 1 76715 0.00479369 -0.51193830 0.274658 -29.331904
    Unten rechts KachelX + 1 65637 KachelY + 1 76715 0.00484163 -0.51193830 0.277405 -29.331904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51189651--0.51193830) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dl = 266.244089999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51189651--0.51193830) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dr = 266.244089999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00479369-0.00484163) × cos(-0.51189651) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.871817105648751 × 6371000     		do = 266.275384637432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00479369-0.00484163) × cos(-0.51193830) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.871796634827568 × 6371000     		du = 266.269132321723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51189651)-sin(-0.51193830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871817105648751-0.871796634827568)×R²
    abs(0.00484163-0.00479369)×2.04708211831717e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.04708211831717e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.04708211831717e-05×40589641000000     		ar = 70893.4151614086m²