Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6562 / 6242
↖ ↑ ↗
← S 68.171555°
E108.369141°		 ← 1 816.94 m → S 68.171555°
E108.413086°		 →
↑
1 816.31 m
↓
↑
1 816.31 m
↓
S 68.187889°
E108.369141°		 ← 1 815.65 m →
3 298 946 m²		 S 68.187889°
E108.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80108642578125 y=0.76202392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80108642578125 × 213)
    floor (0.80108642578125 × 8192)
    floor (6562.5)     		tx = 6562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76202392578125 × 213)
    floor (0.76202392578125 × 8192)
    floor (6242.5)     		ty = 6242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6562 / 6242 ti = "13/6562/6242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6562/6242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6562 ÷ 213
    6562 ÷ 8192     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6242 ÷ 213
    6242 ÷ 8192     		y = 0.761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.52392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64596138535425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64596138535425))-π/2
    2×atan(0.192827092511198)-π/2
    2×0.190489116294274-π/2
    0.380978232588548-1.57079632675     		φ = -1.18981809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18981809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.171555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6562 KachelY 6242 1.89139831 -1.18981809 108.369141 -68.171555
    Oben rechts KachelX + 1 6563 KachelY 6242 1.89216530 -1.18981809 108.413086 -68.171555
    Unten links KachelX 6562 KachelY + 1 6243 1.89139831 -1.19010318 108.369141 -68.187889
    Unten rechts KachelX + 1 6563 KachelY + 1 6243 1.89216530 -1.19010318 108.413086 -68.187889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18981809--1.19010318) × R
    0.000285089999999988 × 6371000     		dl = 1816.30838999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18981809--1.19010318) × R
    0.000285089999999988 × 6371000     		dr = 1816.30838999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89216530) × cos(-1.18981809) × R
    0.000766990000000023 × 0.371828745709089 × 6371000     		do = 1816.93867093664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89216530) × cos(-1.19010318) × R
    0.000766990000000023 × 0.371564081172296 × 6371000     		du = 1815.64538945349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18981809)-sin(-1.19010318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371828745709089-0.371564081172296)×R²
    abs(1.89216530-1.89139831)×0.000264664536793524×R²
    0.000766990000000023×0.000264664536793524×6371000²
    0.000766990000000023×0.000264664536793524×40589641000000     		ar = 3298946.47547822m²