Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65616 / 76784
↖ ↑ ↗
← S 29.496987°
E  0.219726°		 ← 265.84 m → S 29.496987°
E  0.222473°		 →
↑
265.86 m
↓
↑
265.86 m
↓
S 29.499378°
E  0.219726°		 ← 265.83 m →
70 675 m²		 S 29.499378°
E  0.222473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500614166259766 y=0.585819244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500614166259766 × 217)
    floor (0.500614166259766 × 131072)
    floor (65616.5)     		tx = 65616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585819244384766 × 217)
    floor (0.585819244384766 × 131072)
    floor (76784.5)     		ty = 76784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65616 / 76784 ti = "17/65616/76784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65616/76784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65616 ÷ 217
    65616 ÷ 131072     		x = 0.5006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76784 ÷ 217
    76784 ÷ 131072     		y = 0.5858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5006103515625 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.539194246926392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00383495} λ = 0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539194246926392))-π/2
    2×atan(0.583217992791458)-π/2
    2×0.527988386914416-π/2
    1.05597677382883-1.57079632675     		φ = -0.51481955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51481955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.496987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65616 KachelY 76784 0.00383495 -0.51481955 0.219726 -29.496987
    Oben rechts KachelX + 1 65617 KachelY 76784 0.00388289 -0.51481955 0.222473 -29.496987
    Unten links KachelX 65616 KachelY + 1 76785 0.00383495 -0.51486128 0.219726 -29.499378
    Unten rechts KachelX + 1 65617 KachelY + 1 76785 0.00388289 -0.51486128 0.222473 -29.499378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51481955--0.51486128) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dl = 265.861829999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51481955--0.51486128) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dr = 265.861829999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00383495-0.00388289) × cos(-0.51481955) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.870381586041768 × 6371000     		do = 265.836939999179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00383495-0.00388289) × cos(-0.51486128) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.870361038358479 × 6371000     		du = 265.830664207806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51481955)-sin(-0.51486128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870381586041768-0.870361038358479)×R²
    abs(0.00388289-0.00383495)×2.05476832882967e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.05476832882967e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.05476832882967e-05×40589641000000     		ar = 70675.0611133047m²