Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65587 / 65821
↖ ↑ ↗
← S  0.782751°
E  0.140076°		 ← 305.40 m → S  0.782751°
E  0.142822°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.785498°
E  0.140076°		 ← 305.40 m →
93 257 m²		 S  0.785498°
E  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500392913818359 y=0.502178192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500392913818359 × 217)
    floor (0.500392913818359 × 131072)
    floor (65587.5)     		tx = 65587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502178192138672 × 217)
    floor (0.502178192138672 × 131072)
    floor (65821.5)     		ty = 65821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65587 / 65821 ti = "17/65587/65821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65587/65821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65587 ÷ 217
    65587 ÷ 131072     		x = 0.500389099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65821 ÷ 217
    65821 ÷ 131072     		y = 0.502174377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500389099121094 × 2 - 1) × π
    0.0007781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00244478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502174377441406 × 2 - 1) × π
    -0.0043487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.013662016391716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00244478} λ = 0.00244478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.013662016391716))-π/2
    2×atan(0.986430885397738)-π/2
    2×0.778567367693743-π/2
    1.55713473538749-1.57079632675     		φ = -0.01366159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00244478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.140076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01366159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.782751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65587 KachelY 65821 0.00244478 -0.01366159 0.140076 -0.782751
    Oben rechts KachelX + 1 65588 KachelY 65821 0.00249272 -0.01366159 0.142822 -0.782751
    Unten links KachelX 65587 KachelY + 1 65822 0.00244478 -0.01370952 0.140076 -0.785498
    Unten rechts KachelX + 1 65588 KachelY + 1 65822 0.00249272 -0.01370952 0.142822 -0.785498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01366159--0.01370952) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01366159--0.01370952) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00244478-0.00249272) × cos(-0.01366159) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999906681930749 × 6371000     		do = 305.397238259642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00244478-0.00249272) × cos(-0.01370952) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999906026002574 × 6371000     		du = 305.397037922294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01366159)-sin(-0.01370952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999906681930749-0.999906026002574)×R²
    abs(0.00249272-0.00244478)×6.55928175330445e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.55928175330445e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.55928175330445e-07×40589641000000     		ar = 93256.6900614992m²