Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65585 / 76427
↖ ↑ ↗
← S 28.639979°
E  0.134583°		 ← 268 m → S 28.639979°
E  0.137329°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.642389°
E  0.134583°		 ← 267.99 m →
71 831 m²		 S 28.642389°
E  0.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500377655029297 y=0.583095550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500377655029297 × 217)
    floor (0.500377655029297 × 131072)
    floor (65585.5)     		tx = 65585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583095550537109 × 217)
    floor (0.583095550537109 × 131072)
    floor (76427.5)     		ty = 76427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65585 / 76427 ti = "17/65585/76427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65585/76427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65585 ÷ 217
    65585 ÷ 131072     		x = 0.500373840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76427 ÷ 217
    76427 ÷ 131072     		y = 0.583091735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500373840332031 × 2 - 1) × π
    0.0007476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00234891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583091735839844 × 2 - 1) × π
    -0.166183471679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.522080773762032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00234891} λ = 0.00234891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522080773762032))-π/2
    2×atan(0.593284771344649)-π/2
    2×0.535467200820902-π/2
    1.0709344016418-1.57079632675     		φ = -0.49986193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00234891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.134583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49986193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.639979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65585 KachelY 76427 0.00234891 -0.49986193 0.134583 -28.639979
    Oben rechts KachelX + 1 65586 KachelY 76427 0.00239684 -0.49986193 0.137329 -28.639979
    Unten links KachelX 65585 KachelY + 1 76428 0.00234891 -0.49990400 0.134583 -28.642389
    Unten rechts KachelX + 1 65586 KachelY + 1 76428 0.00239684 -0.49990400 0.137329 -28.642389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49986193--0.49990400) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49986193--0.49990400) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00234891-0.00239684) × cos(-0.49986193) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.877648747809457 × 6371000     		do = 268.000603258053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00234891-0.00239684) × cos(-0.49990400) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.877628582698108 × 6371000     		du = 267.994445598716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49986193)-sin(-0.49990400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877648747809457-0.877628582698108)×R²
    abs(0.00239684-0.00234891)×2.01651113491685e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.01651113491685e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.01651113491685e-05×40589641000000     		ar = 71830.8324481156m²