Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65583 / 76439
↖ ↑ ↗
← S 28.668901°
E  0.129089°		 ← 267.98 m → S 28.668901°
E  0.131836°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 28.671311°
E  0.129089°		 ← 267.98 m →
71 809 m²		 S 28.671311°
E  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500362396240234 y=0.583187103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500362396240234 × 217)
    floor (0.500362396240234 × 131072)
    floor (65583.5)     		tx = 65583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583187103271484 × 217)
    floor (0.583187103271484 × 131072)
    floor (76439.5)     		ty = 76439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65583 / 76439 ti = "17/65583/76439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65583/76439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65583 ÷ 217
    65583 ÷ 131072     		x = 0.500358581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76439 ÷ 217
    76439 ÷ 131072     		y = 0.583183288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500358581542969 × 2 - 1) × π
    0.0007171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00225303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583183288574219 × 2 - 1) × π
    -0.166366577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.522656016557472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00225303} λ = 0.00225303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522656016557472))-π/2
    2×atan(0.592943586695702)-π/2
    2×0.535214805067823-π/2
    1.07042961013565-1.57079632675     		φ = -0.50036672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00225303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50036672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.668901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65583 KachelY 76439 0.00225303 -0.50036672 0.129089 -28.668901
    Oben rechts KachelX + 1 65584 KachelY 76439 0.00230097 -0.50036672 0.131836 -28.668901
    Unten links KachelX 65583 KachelY + 1 76440 0.00225303 -0.50040878 0.129089 -28.671311
    Unten rechts KachelX + 1 65584 KachelY + 1 76440 0.00230097 -0.50040878 0.131836 -28.671311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50036672--0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50036672--0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00225303-0.00230097) × cos(-0.50036672) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.877406687950584 × 6371000     		do = 267.982586948255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00225303-0.00230097) × cos(-0.50040878) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.877386509001661 × 6371000     		du = 267.976423777848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50036672)-sin(-0.50040878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877406687950584-0.877386509001661)×R²
    abs(0.00230097-0.00225303)×2.01789489236992e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.01789489236992e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.01789489236992e-05×40589641000000     		ar = 71808.9298602875m²